Näherung von Wurzel 2 durch konvergente Folgen

Auf die alten Griechen soll folgendes Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von 2\sqrt 2 zurückgehen. Wir betrachten die beiden Folgen (an)(a_n) und (bn)(b_n), die rekursiv definiert sind:
a1=b1=1a_1=b_1=1
an+1=an+bna_{n+1}=a_n+b_n
bn+1=an+1+anb_{n+1}=a_{n+1}+a_{n}
Die ersten Folgenglieder (ak,bk)(a_k,b_k) sind dann: (1, 1) (2, 3) (5, 7) (12, 17), (29, 41) ... und 41/29=1,4137... ist schon eine ziemlich gute Näherung für 2\sqrt 2.
Betrachten wir nun die Folge cn=bnanc_n=\dfrac {b_n}{a_n} so behaupten wir:
cn=bnan→2c_n=\dfrac {b_n}{a_n}\rightarrow \sqrt 2,(1)
die Folgenglieder sind also Näherungswerte von 2\sqrt 2.
Dazu wollen wir zwei Beziehungen zeigen:
(bn2−2an2)2=1(b_n^2-2a_n^2)^2=1(2)
und
an≥na_n\geq n.(3)
Aus (3) folgt sofort 1an→0\dfrac 1{a_n}\rightarrow 0 (Beispiel 5903A) und aus (2) können wir außerdem bn2−2an2=±1b_n^2-2a_n^2=\pm 1, also
bn2an2=2±1an\dfrac {b_n^2}{a_n^2}=2\pm \dfrac 1{a_n}(4)
ableiten. Damit ist wenn (2) und (3) gelten, die Konvergenz erwiesen.
Für den Nachweis von (2) und (3) benutzen wir die vollständige Induktion. doch zuvor eine kleine Hilfsrechnung:
bn+12−2an+12=(an+1+an)2−2(an+bn)2b_{n+1}^2-2a_{n+1}^2=(a_{n+1}+a_n)^2-2(a_n+b_n)^2 =(2an+bn)2−2(an+bn)2=(2a_n+b_n)^2-2(a_n+b_n)^2 =4an2+4anbn+bn2−2an2−4anbn−2bn2=4a_n^2+4a_nb_n+b_n^2-2a_n^2-4a_nb_n-2b_n^2 =−(bn2−2an2)=-(b_n^2-2a_n^2)(5)
Und jetzt der Induktionsbeweis: Für n=1n=1 gilt (1−2⋅1)2=1(1-2\cdot 1)^2=1
Induktionsschritt: Es gelte (bn2−2an2)2=1(b_n^2-2a_n^2)^2=1. Dann ist nach (5):
(bn+12−2an+12)2=(−(bn2−2an2))2=1(b_{n+1}^2-2a_{n+1}^2)^2 =(-(b_n^2-2a_n^2))^2 = 1
Jetzt zeigen wir (3). Es gilt an≥1a_n\geq 1 und damit bn=an+an−1≥anb_n=a_n+a_{n-1}\geq a_n.
Der Induktionsanfang ist klar. Gelte jetzt an≥na_n\geq n, dann erhalten wir:
an+1=an+bn≥2an≥2n≥n+1a_{n+1}=a_n+b_n\geq 2a_n\geq 2n\geq n+ 1
 
 

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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