Ganzrationale Folgen

Das Konvergenzverhalten von ganzrationalen Folgen können wir folgendermaßen charakterisieren:

Satz 5227J

Für g=lim⁡n→∞∑i=0kai ni∑j=0lbj n jg=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \dfrac {\sum\limits_{i=0}^k a_i\, n^i} {\sum\limits_{j=0}^l b_j\, n^{\, j}} gilt:
g=0 für k<lk<l
g=akblg=\dfrac {a_k}{b_l} für k=lk=l
g=∞g=\infty für k>lk>l und akbl>0\dfrac{a_k}{b_l}>0
g=−∞g=\uminus\infty für k>lk>l und akbl<0\dfrac{a_k}{b_l}<0

Beweis

Man klammere die höchste Potenz von nn aus und wende Satz 5225C an. □\qed
Das Verfahren, dass diesem Satz zugrunde liegt wollen wir an folgendem Grenzwert verdeutlichen.
lim⁡n→∞3n3+2n+74n3−6n2−9\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \dfrac {3n^3+2n+7}{4n^3-6n^2-9}
=lim⁡n→∞n3(3+2n2+7n3)n3(4−6n−9n3)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} {\dfrac {n^3(3+\dfrac 2 {n^2}+\dfrac 7 {n^3}) }{n^3(4-\dfrac 6 n-\dfrac 9 {n^3})}} (wir klammern die höchste Potenz aus)
=lim⁡n→∞3+2n2+7n34−6n−9n3=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} {\dfrac {3+\dfrac 2 {n^2}+\dfrac 7 {n^3} }{4-\dfrac 6 n-\dfrac 9 {n^3}}} (kürzen von n3n^3)
=34=\dfrac 3 4 (nach Satz 5225C und Beispiel 5903A)
 
 

Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.

N. Bourbaki

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Zahlenfolgen