Weitere Beispiele zu Konvergenz von Folgen

Beispiel 15U9

  1. n+1−n→0\sqrt{n+1}-\sqrt n\rightarrow 0
  2. n!nn→0\dfrac {n!}{n^n} \rightarrow 0

Beweis

(i) Es gilt n+1−n=(n+1−n)(n+1+n)n+1+n\sqrt{n+1}-\sqrt n=\dfrac {(\sqrt{n+1}-\sqrt n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)} {\sqrt{n+1}+\sqrt n} =1n+1+n=\dfrac 1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}. Es handelt sich also offensichtlich um eine Nullfolge.
(ii) Es gilt: (Definition der Fakultät): n!nn=1⋅2⋅…⋅nn⋅n⋅…⋅n\dfrac {n!}{n^n}=\dfrac{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}{n\cdot n\cdot\ldots\cdot n} ≤1n⋅nn⋅…⋅nn=1n\leq \dfrac 1 n \cdot \dfrac n n\cdot\ldots\cdot \dfrac n n=\dfrac 1 n. Die Folgenglieder sind positiv und mit Satz 5731A ergibt sich die Behauptung. □\qed

Beispiel 16LV

Sei x∈Rx\in\R fest und ∀n∈N    an:=xn\forall n\in\N\;\; a_n:=x^n. Dann gilt:
  1. x=0    ⇒    an→0x = 0\;\;\Rightarrow\;\; a_n\to 0
  2. x=1    ⇒    an→1x = 1\;\;\Rightarrow\;\; a_n\to 1
  3. x=−1    ⇒    (an)=((−1)n)x = -1\;\;\Rightarrow\;\; (a_n) = \left((-1)^n\right) divergent.
  4. ∣x∣>1|x| > 1   ⟹  (an)\implies (a_n) ist divergent.
  5. 0<∣x∣<10<|x| < 1   ⟹  an→0\implies a_n\to 0

Beweis

Bei (i) und (ii) handelt es sich um konstante Folgen. Zu (iii) siehe Beispiel 16LW.
(iv) ∣x∣>1|x| > 1 ⇒  δ:=∣x∣−1 > 0\Rightarrow\; \delta := |x|-1\, >\, 0 und für jedes n∈Nn \in \N gilt: ∣an∣=∣xn∣=∣x∣n=(1+δ)n|a_n| = |x^n| = |x|^n = (1+ \delta)^n ≥1+n⋅δ>n⋅δ{\geq} 1+n \cdot \delta > n \cdot \delta (Bernoullische Ungleichung)
Weil δ>0\delta > 0 ⇒(an)\Rightarrow (a_n) nicht beschränkt ⇒(an)\Rightarrow(a_n) divergent. (v) 0<∣x∣<1    0 < |x| < 1\;\;⇒    y:=1∣x∣−1>0\Rightarrow\;\;y := \dfrac{1}{|x|} -1 > 0 und für jedes n∈Nn \in \N gilt: 1∣an∣=(1∣x∣)n \dfrac{1}{|a_n|} = \left(\dfrac{1}{|x|} \right)^n=(1+y)n = (1+y)^n≥1+n⋅y>n⋅y {\geq} 1+n \cdot y > n \cdot y (Bernoullische Ungleichung). ⇒  ∀n∈N:    ∣an∣<1y⋅1n     \Rightarrow\;\forall n \in \N: \;\; |a_n| < \dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{1}{n} \;\;⇒    an→0\Rightarrow\;\; a_n \to 0 □\qed
 
 

Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung.

Leonardo da Vinci

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