Vertauschbarkeit von Grenzprozessen

Bei Betrachtung von Grenzwerten kommt es auf die Reihenfolge des Grenzübergans ein. Betrachten wir die Folge:
an,m=mm+na_{n,m}=\dfrac m {m+n}
Nun ist für jedes m∈Nm\in \domN: lim⁡n→∞mm+n=0\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac m {m+n}=0 und damit
lim⁡m→∞(lim⁡n→∞mm+n)=0\lim\limits_{m\rightarrow \infty}\braceNT{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac m {m+n}}=0.
Andererseits gilt für jedes n∈Nn\in \domN:lim⁡m→∞mm+n=1\lim\limits_{m\rightarrow \infty}\dfrac m {m+n}=1 und damit
lim⁡n→∞(lim⁡m→∞mm+n)=1\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\braceNT{ \lim\limits_{m\rightarrow \infty}\dfrac m {m+n}}=1.
Die Grenzwerte stimmen nicht überein, daher darf die Bildung von Grenzwerten im Allgemeinen nicht vertauscht werden.
 
 

Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

Albert Einstein

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