Umkreisradius

Unter einem Kreis K⊆R2K\subseteq \R^2 wollen wir im folgenden abgeschlossene Kreisscheiben verstehen, also Mengen für die es x0,y0,r∈R2x_0,y_0,r\in\R^2 gibt mit K={(x,y)∣(x−x0)2+(y−y0)2≤r2}K=\{(x,y)|(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\le r^2\}. (x0,y0)(x_0,y_0) heißt dann Mittelpunkt des Kreises und rr sein Radius.
Für die folgenden Überlegungen reicht es schon aus, Punktmengen zu betrachten, sie gelten natürlich dann auch für Figuren. Für eine nichtleere beschränkte Teilmenge A⊂R2A\subset \R^2 ist ein Kreis KK mit A⊆KA\subseteq K ein Umkreis. Sei K\mathcal K die Menge aller Umkreise und KR⊆RK_R\subseteq \R die Menge aller Radien von Umkreisen aus K\mathcal K.
Da AA beschränkt ist, ist K\mathcal K nicht leer (Die ϵ\epsilon-Umgebungen im R2\R^2 um AA sind ja gerade offene Kreise)
Wir definieren den minimalen Umkreisradius RR (oder einfach nur Umkreisradius wenn keine Verschwechslung mit anderen Umkreisradien möglich ist) als Infimum der Menge KRK_R:
R=inf⁡KRR=\inf K_R.
RR ist wohldefiniert, denn KRK_R ist nicht leer und besitzt als nach unten beschränkte Menge ein eindeutig bestimmtes Infimum. Falls zu diesem RR ein Umkreis existiert gilt sogar

Satz C979 (Eindeutigkeit des minimalen Umkreises)

Existiert der minimale Umkreis, so ist er eindeutig bestimmt.

Beweis

Für den minimalen Umkreisradius RR seien K1K_1 und K2K_2 zwei verschiedene Kreise mit diesem Radius und M1M_1 sowie M2M_2 deren Mittelpunkte. Da A⊆K1A\subseteq K_1 und A⊆K2A\subseteq K_2, gilt A⊆K1∩K2A\subseteq K_1\cap K_2. Dieser Durchschnitt ist aber in einem Kreis KK mit dem Mittelpunkt M=12(M1+M2)M=\dfrac 1 2(M_1+M_2) und dem Radius r=R2−a2r=\sqrt{R^2-a^2} mit a=12∣∣M1−M2∣∣a=\dfrac 1 2||M_1-M_2|| enthalten. Nun muss a=0a=0 gelten, da andernfalls RR nicht der minimale Umkreis wäre. Somit gilt M1=M2M_1=M_2 und die beiden Kreise fallen zusammen. □\qed
Für endliche Punktmengen trifft Satz C8N9 die Existenzaussage und im allgemeinen Fall Satz C978.

Satz C8NA (Umkreisradius und Flächenradius)

Bei beliebigen Figuren FF gilt zwischen Flächenradius und Umkreisradius die folgende Ungleichung:
rA≤Rr_A\le R.
Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn die Figur ein Kreis ist.

Beweis

Sei AA der Flächeninhalt der Figur FF, rAr_A ihr Flächenradius und rr der Radius eines beliebigen Umkreis. Dann gilt πrA2=A<=πr2\pi r_A^2=A<= \pi r^2, also rA<=rr_A<=r und da der Umkreis beliebig gewählt war: rA<=Rr_A<=R.
Sei nun rA=Rr_A=R, also A=πR2A=\pi R^2 die Fläche des Umkreises KK.Es gilt stets F⊆KF\subseteq K, für den Flächeninhalt Fl\mathrm{Fl} gilt damit: Fl(K∖F)=Fl(K)∖Fl(F)\mathrm{Fl}(K\setminus F)=\mathrm{Fl}(K)\setminus \mathrm{Fl}(F) =πR2−A=0=\pi R^2-A=0. Beide Mengen unterscheiden sich nur um eine Nullmenge, sind nach unserer Definition damit identische Figuren. □\qed
 
 

Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

Albert Einstein

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