Umkreisradius

Unter einem Kreis \(\displaystyle K\subseteq \R^2\) wollen wir im folgenden abgeschlossene Kreisscheiben verstehen, also Mengen für die es \(\displaystyle x_0,y_0,r\in\R^2\) gibt mit \(\displaystyle K=\{(x,y)|(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\le r^2\}\). \(\displaystyle (x_0,y_0)\) heißt dann Mittelpunkt des Kreises und \(\displaystyle r\) sein Radius.
Für die folgenden Überlegungen reicht es schon aus, Punktmengen zu betrachten, sie gelten natürlich dann auch für Figuren.Für eine nichtleere beschränkte Teilmenge \(\displaystyle A\subset \R^2\) ist ein Kreis \(\displaystyle K\) mit \(\displaystyle A\subseteq K\) ein Umkreis. Sei \(\displaystyle \mathcal K\) die Menge aller Umkreise und \(\displaystyle K_R\subseteq \R\) die Menge aller Radien von Umkreisen aus \(\displaystyle \mathcal K\).
Da \(\displaystyle A\) beschränkt ist, ist \(\displaystyle \mathcal K\) nicht leer (Die \(\displaystyle \epsilon\)-Umgebungen im \(\displaystyle \R^2\) um \(\displaystyle A\) sind ja gerade offene Kreise)
Wir definieren den minimalen Umkreisradius \(\displaystyle R\) (oder einfach nur Umkreisradius wenn keine Verschwechslung mit anderen Umkreisradien möglich ist) als Infimum der Menge \(\displaystyle K_R\):
\(\displaystyle R=\inf K_R\).
\(\displaystyle R\) ist wohldefiniert, denn \(\displaystyle K_R\) ist nicht leer und besitzt als nach unten beschränkte Menge ein eindeutig bestimmtes Infimum. Falls zu diesem \(\displaystyle R\) ein Umkreis existiert gilt sogar
 
 

Satz C979 (Eindeutigkeit des minimalen Umkreises)

Existiert der minimale Umkreis, so ist er eindeutig bestimmt.

Beweis

Für den minimalen Umkreisradius \(\displaystyle R\) seien \(\displaystyle K_1\) und \(\displaystyle K_2\) zwei verschiedene Kreise mit diesem Radius und \(\displaystyle M_1\) sowie \(\displaystyle M_2\) deren Mittelpunkte. Da \(\displaystyle A\subseteq K_1\) und \(\displaystyle A\subseteq K_2\), gilt \(\displaystyle A\subseteq K_1\cap K_2\). Dieser Durchschnitt ist aber in einem Kreis \(\displaystyle K\) mit dem Mittelpunkt \(\displaystyle M=\dfrac 1 2(M_1+M_2)\) und dem Radius \(\displaystyle r=\sqrt{R^2-a^2}\) mit \(\displaystyle a=\dfrac 1 2||M_1-M_2||\) enthalten. Nun muss \(\displaystyle a=0\) gelten, da andernfalls \(\displaystyle R\) nicht der minimale Umkreis wäre. Somit gilt \(\displaystyle M_1=M_2\) und die beiden Kreise fallen zusammen. \(\displaystyle \qed\)
Für endliche Punktmengen trifft Satz C8N9 die Existenzaussage und im allgemeinen Fall Satz C978.

Satz C8NA (Umkreisradius und Flächenradius)

Bei beliebigen Figuren \(\displaystyle F\) gilt zwischen Flächenradius und Umkreisradius die folgende Ungleichung:
\(\displaystyle r_A\le R\).
Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn die Figur ein Kreis ist.

Beweis

Sei \(\displaystyle A\) der Flächeninhalt der Figur \(\displaystyle F\), \(\displaystyle r_A\) ihr Flächenradius und \(\displaystyle r\) der Radius eines beliebigen Umkreis. Dann gilt \(\displaystyle \pi r_A^2=A<= \pi r^2\), also \(\displaystyle r_A<=r\) und da der Umkreis beliebig gewählt war: \(\displaystyle r_A<=R\).
Sei nun \(\displaystyle r_A=R\), also \(\displaystyle A=\pi R^2\) die Fläche des Umkreises \(\displaystyle K\).Es gilt stets \(\displaystyle F\subseteq K\), für den Flächeninhalt \(\displaystyle \mathrm{Fl}\) gilt damit: \(\displaystyle \mathrm{Fl}(K\setminus F)=\mathrm{Fl}(K)\setminus \mathrm{Fl}(F)\) \(\displaystyle =\pi R^2-A=0\). Beide Mengen unterscheiden sich nur um eine Nullmenge, sind nach unserer Definition damit identische Figuren. \(\displaystyle \qed\)

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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