Flächen- und Umfangsradius

Sei AA der Flächeninhalt der Figur FF, dann definieren wir den Flächenradius rAr_A als
rA=Aπr_A= \sqrt{\dfrac A \pi},
wegen A=πr2A=\pi r^2 als Formel für den Flächeninhalt eines Kreises ist der Flächenradius einer Figur also genau der Radius eines flächengleichen Kreises.
Sei uu der Umfang der Figur, dann definieren wir analog den "Umfangsradius rur_u als Radius eines umfangsgleichen Kreises:
ru=u2πr_u=\dfrac u {2\pi}.
 
 

Beispiele

Für einen Kreis mit dem Radius rr gilt natürlich rA=ru=rr_A=r_u=r.
Für ein Quadrat mit der Seitenlänge aa ist A=a2A=a^2, also rA=aπr_A=\dfrac a {\sqrt \pi} und wegen u=4au=4a ergibt sich ru=2aπr_u=\dfrac {2a}\pi.

Satz C94B (Umfangsradius und Flächenradius)

Für jede Figur FF gilt
rA≤rur_A\leq r_u
und es gilt rA=rur_A=r_u genau dann, wenn FF ein Kreis ist.

Beweis

Bei diesem Satz handelt es sich nur um eine andere Formulierung für das Isoperimetrische Problem. □\qed

Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

Albert Einstein

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