Flächen- und Umfangsradius

Sei \(\displaystyle A\) der Flächeninhalt der Figur \(\displaystyle F\), dann definieren wir den Flächenradius \(\displaystyle r_A\) als
\(\displaystyle r_A= \sqrt{\dfrac A \pi}\),
wegen \(\displaystyle A=\pi r^2\) als Formel für den Flächeninhalt eines Kreises ist der Flächenradius einer Figur also genau der Radius eines flächengleichen Kreises.
Sei \(\displaystyle u\) der Umfang der Figur, dann definieren wir analog den "Umfangsradius \(\displaystyle r_u\) als Radius eines umfangsgleichen Kreises:
\(\displaystyle r_u=\dfrac u {2\pi}\).
 
 

Beispiele

Für einen Kreis mit dem Radius \(\displaystyle r\) gilt natürlich \(\displaystyle r_A=r_u=r\).
Für ein Quadrat mit der Seitenlänge \(\displaystyle a\) ist \(\displaystyle A=a^2\), also \(\displaystyle r_A=\dfrac a {\sqrt \pi}\) und wegen \(\displaystyle u=4a\) ergibt sich \(\displaystyle r_u=\dfrac {2a}\pi\).

Satz C94B (Umfangsradius und Flächenradius)

Für jede Figur \(\displaystyle F\) gilt
\(\displaystyle r_A\leq r_u\)
und es gilt \(\displaystyle r_A=r_u\) genau dann, wenn \(\displaystyle F\) ein Kreis ist.

Beweis

Bei diesem Satz handelt es sich nur um eine andere Formulierung für das Isoperimetrische Problem. \(\displaystyle \qed\)

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе