Inkreisradius

Sei \(\displaystyle F\subset\R^2\) eine Figur. Ein Inkreis ist dann ein Kreis \(\displaystyle K\), für den \(\displaystyle K\subseteq F\) gilt. Für die folgenden Überlegungen wollen wir entartete Kreis mit einem Radius von \(\displaystyle 0\) zulassen.
Sei \(\displaystyle \mathcal K\) die Menge aller Inkreise von \(\displaystyle F\) und \(\displaystyle K_R\subseteq \R\) die Menge aller Radien von Inkreisen aus \(\displaystyle \mathcal K\). \(\displaystyle \mathcal K\) (und damit \(\displaystyle K_R\)) sind nicht leer, da wir ja Kreise mit dem Radius 0 zugelassen haben, also alle Punkte aus \(\displaystyle F\) zu \(\displaystyle \mathcal K\) gehören. \(\displaystyle K_R\) ist außerdem nach oben beschränkt, da jeder Inkreis von \(\displaystyle F\) Teilmenge eines beliebigen Umkreises ist.
Wir nennen das Supremum aller Inkreisradien \(\displaystyle \rho\) den maximalen Inkreisradius von \(\displaystyle F\) oder kürzer Inkreisradius von \(\displaystyle F\):
\(\displaystyle \rho=\sup_{K\in\mathcal K} K_R\).
Die Existenz eines zu \(\displaystyle \rho\) gehörigen Kreises ist - ähnlich wie beim Umkreisradius - allein durch diese Definition nicht gegeben.
Im Gegensatz zum minimalen Umkreis, der - sofern er existiert - auch eindeutig bestimmt ist, gilt dies für den minimalen Inkreis nicht. Als Gegenbeispiel betrachte man ein Rechteck, das für den maximalen Inkreisradius mehrere Inkreis mit verschiedenen Mittelpunkten enthält.
Aus der Definition können wir sofort die Ungleichung \(\displaystyle \rho<= R\) zwischen Inkreisradius und Umkreisradius ableiten. Es gilt sogar
 
 

Satz C94A (Inkreisradius und Flächenradius)

Für eine beliebige Figuren \(\displaystyle F\) gilt zwischen Inkreisradius und Flächenradius die Ungleichung
\(\displaystyle \rho<=r_A\).
Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn die Figur ein Kreis ist.

Beweis

Die Beweisschritte sind analog zu denen von Satz C8NA.
Sei \(\displaystyle A\) der Flächeninhalt der Figur \(\displaystyle F\), \(\displaystyle r_A\) ihr Flächenradius und \(\displaystyle r\) der Radius eines beliebigen Inkreises. Dann gilt \(\displaystyle \pi r^2<=A=\pi r_A^2\), also \(\displaystyle r<=r_A\) und da der Inkreis beliebig gewählt war: \(\displaystyle \rho<=r_A\).
Sei nun \(\displaystyle r_A=\rho\), also \(\displaystyle A=\pi \rho^2\).Es gilt stets \(\displaystyle K\subseteq F\), für den Flächeninhalt \(\displaystyle \mathrm{Fl}\) gilt damit: \(\displaystyle \mathrm{Fl}(F\setminus K)\)\(\displaystyle =\mathrm{Fl}(F)\setminus \mathrm{Fl}(K)\) \(\displaystyle =A-\pi \rho^2=0\). Beide Mengen unterscheiden sich nur um eine Nullmenge, sind nach unserer Definition damit identische Figuren. \(\displaystyle \qed\)

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

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