Ebene Geometrie mit komplexen Zahlen

\(\displaystyle \langle a, b\rangle:=\dfrac 1 2 (a\ovl b+\ovl a b)=\Re(a\ovl b)\)
Hat Eigenschaften eines Skalarproduktes und entspricht genau dem herkömmlichen Skalarprodukt der euklidischen Ebene.
\(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) heißen orthogonal oder senkrecht \(\displaystyle a\perp b \iff \langle a, b\rangle=0\).
Spezielle Abbildung \(\displaystyle z\mapsto \i z\) entspricht Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn.
 
 

Satz 16G7

  1. \(\displaystyle \langle a\i,b\rangle=-\langle a,b\i\rangle\) und \(\displaystyle \langle a\i,b\i\rangle=\langle a,b\rangle\)
  2. \(\displaystyle \langle a,a\i\rangle=0\), d.h. \(\displaystyle a\perp a\i\)
  3. \(\displaystyle \langle a,b\i\rangle c+\langle b,c\i\rangle a+\langle c,a\i\rangle b=0\)
    \(\displaystyle \langle a,b\i\rangle c\i=\langle b,c\rangle a-\langle a,c\rangle b\) und \(\displaystyle \langle a,b\i\rangle c=\langle a,c\rangle b\i-\langle b,c\rangle a\i\)
  4. \(\displaystyle \langle a,b\rangle^2 +\langle a,b\i\rangle^2=|a|^2\cdot |b|^2\)
    \(\displaystyle |\langle a,b\rangle|\leq |a|\cdot |b|\) (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung)

Beweis

(ii) \(\displaystyle \langlea,a\i\rangle=-\langlea\i,a\rangle\) nach (i) und \(\displaystyle \langlea\i,a\rangle=\langlea,a\i\rangle\) wegen Symmetrie des Skalarproduktes, also \(\displaystyle -\langlea\i,a\rangle=\langlea,a\i\rangle\) \(\displaystyle \implies \langlea,a\i\rangle=0\)
(iii) \(\displaystyle \langlea,b\i\ranglec+\langleb,c\i\ranglea+\langlec,a\i\rangleb\) \(\displaystyle =\dfrac 12i(-a\ovl b+\ovl ab)c +\dfrac 12i(-b\ovl c+\ovl bc)a +\dfrac 12i(-c\ovl a+\ovl ca)b \) \(\displaystyle =\dfrac 12i(-a\ovl bc+\ovl ab-ab\ovl c+a\ovl bc-c\ovl ab+\ovl cab)=0\)
Die anderen Identitäten ergeben sich nach Ersetzen von \(\displaystyle c\) durch \(\displaystyle c\i\) bzw. \(\displaystyle a\) durch \(\displaystyle a\i\) und \(\displaystyle b\) durch \(\displaystyle b\i\)
(iv) \(\displaystyle \langlea,b\rangle^2 +\langlea,b\i\rangle^2\) \(\displaystyle =\dfrac 1 4 (a\ovl b+\ovl a b)^2+\dfrac 1 4 (-a\ovl bi+\ovl a bi)^2\) \(\displaystyle =\dfrac 1 4 (a\ovl b+\ovl a b)^2-\dfrac 1 4 (-a\ovl b+\ovl a b)^2\) \(\displaystyle =a\ovl ab\ovl b=|a|^2|b|^2\)
Wegen \(\displaystyle \underbrace{\langlea,b\rangle^2}_{>=0} +\underbrace{\langlea,b\i\rangle^2}_{>=0}=|a|^2\cdot |b|^2\) gilt die Cauchy-Schwarze Ungleichung.

Definitionen

\(\displaystyle a\in\C\) kann sowohl als Punkt als auch als Ortsvektor (Vektor vom Nullpunkt zum Punkt \(\displaystyle a\)) aufgefasst werden.
\(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) heißen parallel \(\displaystyle a||b\) \(\displaystyle \iff\langle a\i,b\rangle=\langle a,b\i\rangle=0\).

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.

Friedrich der Große

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе