Geradengleichungen

Gerade_im_KS.PNG
Eine Geradengleichung ist eine Gleichung in der Mathematik, die eine Gerade eindeutig beschreibt. Die Abbildung zeigt eine Gerade \(\displaystyle \bm{g}\) durch zwei gegebene Punkte \(\displaystyle \bm{P}\) und \(\displaystyle \bm Q\) in einem kartesischen Koordinatensystem. Durch zwei voneinander verschiedene Punkte lässt sich in der euklidischen Geometrie immer genau eine Gerade konstruieren.
 
 

Funktionen

Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen haben im allgemeinen die Gleichung
\(\displaystyle g: \, x = c\)
Für die y-Achse gilt demnach die Gleichung
\(\displaystyle g: \, x = 0\)
da für alle Punkte auf der y-Achse der x-Wert Null ist.

Koordinatenform

Gerade_Koordinatenform.PNG
Die Koordinatenform folgt immer dem Schema:
\(\displaystyle g: \, y = m\cdot x + n\)
\(\displaystyle \bm{m}\) ist die Steigung der Geraden,
\(\displaystyle \bm{n}\) ist der Achsenabschnitt auf der y-Achse, also die Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse relativ zum Ursprung des Koordinatensystems (für n = 0 ergibt sich eine Gerade durch den Ursprung, eine Ursprungsgerade).
\(\displaystyle \bm{x}\) und \(\displaystyle \bm{y}\) sind Platzhalter für die Koordinatenwerte aller Punkte, die die Geradengleichung erfüllen und somit auf dem Graphen der Gerade liegen.
Ein Punkt \(\displaystyle \bm{P}\) mit der x-Koordinate \(\displaystyle \bm{x}\) hat eine y-Koordinate, die sich aus \(\displaystyle \bm{n}\) und m · x zusammensetzt. Die Steigung \(\displaystyle \bm{m}\) ist die senkrechte Kathete des (blau gefärbten) Steigungsdreiecks, dessen waagrechte Kathete \(\displaystyle \bm{1}\) ist. Wird diese auf das x-fache vergrößert (gelbes Dreieck), so vergrößert sich auch die senkrechte Kathete auf das x-fache (Strahlensatz), also m · x. Zusammen mit dem Achsenabschnitt \(\displaystyle \bm{n}\) folgt für die y-Koordinate:
\(\displaystyle y = m\cdot x + n\),
im Beispiel:
\(\displaystyle g: \, y = \dfrac{1}{2} \cdot x + 2\),

Zweipunkteform

Gerade_Zweipunkteform.PNG
Die Steigung \(\displaystyle \bm{m}\) der Geraden kann mit Hilfe des Differenzenquotienten folgendermaßen errechnet werden:
\(\displaystyle m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).
Nach dem Strahlensatz gilt für einen beliebigen anderen Punkt P(x|y) zugleich
\(\displaystyle m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y - y_1}{x - x_1}\),
also
\(\displaystyle g: \, \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} =\dfrac{y - y_1}{x - x_1}\).
Im Beispiel wird
\(\displaystyle \dfrac{3 - 1}{2 - (-2)}=\dfrac{2}{4} = 0{,}5 = \dfrac{y - 1}{x - (-2)}\),
\(\displaystyle g: \, \dfrac{y - 1}{x + 2} = 0{,}5\).

Polarform

\(\displaystyle g: \, r = x \cdot \cos(\phi) + y \cdot \sin(\phi) \)
dabei ist \(\displaystyle r\) die Länge des Lotes von der Geraden zum Ursprung und \(\displaystyle \phi\) der Winkel zwischen der x-Achse und dem Lot.

Geometrische Formen

In der analytischen Geometrie gibt es noch weitere Formen der Geradengleichung, die auch Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen, darstellen können.

Parameterform (Punktrichtungsform)

Gerade_Parameterform.PNG
Es gibt auch die Möglichkeit, eine Gerade mit Hilfe der Vektorrechnung zu beschreiben.
\(\displaystyle g: \, \vec r = \vec r_0 + \lambda \cdot \vec u\)
\(\displaystyle \vec r_0\) ist der Ortsvektor eines fixen Punktes (z.B. \(\displaystyle P_{0}\)),
\(\displaystyle \vec u\) ist der Richtungsvektor,
\(\displaystyle \lambda\) ist ein Skalar und gibt an, wie lange in diese Richtung gezählt wird.
Das Beispiel würde dann so aussehen:
\(\displaystyle g: \, \vec r=\chooseNT{-2 }{ 1} + \lambda \cdot \chooseNT{3 }{ 1,5} \)
\(\displaystyle \lambda\) bildet hierbei die Koordinate eines affinen Koordinatensystems auf der Geraden, d.h. die Gerade wird (mit dem Nullpunkt bei \(\displaystyle P_{0}\)) mit den Werten von \(\displaystyle \lambda\) beziffert (im Bild grün gekennzeichnet).

Normalform

Gerade_Normalform.PNG
Mit einem Normalenvektor \(\displaystyle \vec n\), der im rechten Winkel zur Geraden steht, lässt sich die Gerade in Normalform (in anderer Notation: Normalenform) schreiben:
\(\displaystyle \vec r \cdot \vec n - c = 0\).
oder
\(\displaystyle \vec r \cdot \vec n = c\).
Darin ist c eine Konstante und \(\displaystyle \cdot\) das Skalarprodukt. Diese Darstellung beruht auf der Eigenschaft des Skalarproduktes, nach dem
\(\displaystyle \vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos(\alpha)\) mit \(\displaystyle \alpha = \angle ( \vec a , \vec b )\).
ist. Nun setzt sich der Ortsvektor \(\displaystyle \vec r\) eines beliebigen Punktes P(x|y) stets aus dem Vektor \(\displaystyle \vec r_p \bm{p}\)arallel zur Geraden und dem Vektor \(\displaystyle \vec r_s \bm{s}\)enkrecht zu der Geraden durch Vektoraddition zusammen:
\(\displaystyle \vec r = \vec r_s + \vec r_p\).
Aus den Eigenschaften der Kosinusfunktion ergibt sich, dass stets
\(\displaystyle \vec r_p \cdot \vec n = |\vec r_p| \cdot |\vec n| \cdot \cos (90^\circ) = 0\)
und
\(\displaystyle \vec r_s \cdot \vec n = |\vec r_s| \cdot |\vec n| \cdot \cos (0^\circ) = |\vec r_s| \cdot |\vec n| = c\)
ist. Da \(\displaystyle \vec r_s\) für alle Punkte der Geraden gleich ist, ist dieses Produkt konstant. Somit ist
\(\displaystyle \vec r \cdot \vec n = ( \vec r_s + \vec r_p ) \cdot \vec n = \vec r_s \cdot \vec n + \vec r_p \cdot \vec n = c + 0 = c\).
Wenn \(\displaystyle \chooseNT{v_1 }{ v_2}\) der Richtungsverktor einer zweidimensionalen Geraden ist, so ist jedes Vielfache von \(\displaystyle \chooseNT{-v_2 }{ v_1}\) ein Normalenvektor. Im Beispiel ist
\(\displaystyle \vec n = \chooseNT{-1 }{ 2}\)
c ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten eines beliebigen Punktes, der auf der Geraden liegt, z.B. mit dem Punkt P(4|4):
\(\displaystyle c = \vec n \cdot \vec r = \chooseNT{-1 }{ 2} \cdot \chooseNT{4 }{ 4} = -4 + 8 = 4\).
(Jeder andere Punkt der Geraden führt zum gleichen Ergebnis!) Folglich lautet die Normalform der Geraden:
\(\displaystyle g: \, \vec r \cdot \chooseNT{-1 }{ 2} = 4\).

Hessesche Normalform

Die Hessesche Normalform leitet sich aus der Normalform ab. Offenbar ist der Betrag von \(\displaystyle \vec r_s\) identisch mit dem Abstand \(\displaystyle \bm{d}\) der Geraden vom Ursprung. Aus
\(\displaystyle \vec r_s \cdot \vec n = |\vec r_s| \cdot |\vec n| \cdot \cos (0^\circ) = |\vec r_s| \cdot |\vec n| = c\)
folgt
\(\displaystyle \vec r_s \cdot \vec n = c = | \vec r_s | |\vec n|\) .
Division durch \(\displaystyle | \vec n |\) ergibt folglich
\(\displaystyle \dfrac {c}{|\vec n|} = |\vec r_s| = d\).
Daher ist
\(\displaystyle g: \, \vec r \cdot \dfrac{\vec n}{| \vec n |} = d\).
Im Beispiel ist \(\displaystyle | \vec n | = \sqrt {(-1)^2 + 2^2} = \sqrt {5}\), also
\(\displaystyle g: \, \vec r \cdot \dfrac{\chooseNT{-1 }{ 2}}{\sqrt {5}} = \dfrac {4}{\sqrt{5}}\),
und der Ursprungsabstand der Geraden ist \(\displaystyle d = \dfrac {4}{\sqrt{5}} \approx 1{,}79 \).

Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.

Paul Erdös

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