Geradengleichungen

Parameterdarstellung

z=z0+λz1\displaystyle{{z}={z}_{{0}}+\lambda{z}_{{1}}}, λ∈R\displaystyle{\lambda\in\mathbb{R}}

Gleichung durch zwei Punkte

a,b∈C,a≠b\displaystyle{{a},{b}\in\mathbb{C},{a}\ne{b}}: z=a+λ(b−a)\displaystyle{{z}={a}+\lambda{\left({b}-{a}\right)}}(1)
a,b\displaystyle{{a},{b}} liegen genau dann auf Gerade z=a+λ(b−a)\displaystyle{{z}={a}+\lambda{\left({b}-{a}\right)}}, wenn z−ab−a∈R\displaystyle{\frac{{{z}-{a}}}{{{b}-{a}}}\in\mathbb{R}}, was man durch einfache Umformung von (1) erhält.
Nun ist u∈R⇔u=u‾\displaystyle{{u}\in\mathbb{R}\Leftrightarrow{u}=\overline{{u}}}, und mit Satz GF27: z−ab−a=z−a‾b−a‾=z‾−a‾b‾−a‾\displaystyle{\frac{{{z}-{a}}}{{{b}-{a}}}=\frac{\overline{{{z}-{a}}}}{\overline{{{b}-{a}}}}=\frac{{\overline{{z}}-\overline{{a}}}}{{\overline{{b}}-\overline{{a}}}}} ⇔(z−a)(b‾−a‾)=(z‾−a‾)(b−a)\displaystyle{\Leftrightarrow{\left({z}-{a}\right)}{\left(\overline{{b}}-\overline{{a}}\right)}={\left(\overline{{z}}-\overline{{a}}\right)}{\left({b}-{a}\right)}} ⇔zb‾−za‾−ab‾+aa‾=z‾b−z‾a−a‾b+a‾a\displaystyle{\Leftrightarrow{z}\overline{{b}}-{z}\overline{{a}}-{a}\overline{{b}}+{a}\overline{{a}}=\overline{{z}}{b}-\overline{{z}}{a}-\overline{{a}}{b}+\overline{{a}}{a}} ⇔z(b‾−a‾)−z‾(b−a)=ab‾−a‾b\displaystyle{\Leftrightarrow{z}{\left(\overline{{b}}-\overline{{a}}\right)}-\overline{{z}}{\left({b}-{a}\right)}={a}\overline{{b}}-\overline{{a}}{b}}.
Damit erhalten wir die

Normalform der Geradengleichung

2⋅i⋅I(zc‾)=zc‾−z‾c=γ\displaystyle{{2}\cdot{i}\cdot{\mathfrak{{I}}}{\left({z}\overline{{c}}\right)}={z}\overline{{c}}-\overline{{z}}{c}=\gamma}
mit c=b−a\displaystyle{{c}={b}-{a}} und γ=ab‾−a‾b\displaystyle{\gamma={a}\overline{{b}}-\overline{{a}}{b}}
 
 

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

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