Kreise in der komplexen Ebene

Für eine komplexe Zahl $\displaystyle{{a}\in\mathbb{C}}$ und eine reelle Zahl $\displaystyle{\rho\in\mathbb{R}}$ mit $\displaystyle{\rho>{0}}$ definiert

einen Kreis, genauer eine Kreislinie. Wir nennen $\displaystyle{{a}}$ den Mittelpunkt des Kreises und $\displaystyle{{r}}$ seinen Radius. Zwei Kreise mit demselben Mittelpunkt heißen konzentrisch.

Diese Definition stimmt mir unserer anschaulichen Vorstellung vom Kreis überein, als Menge aller Punkte, die zu einem vorgegebenen Punkt den gleichen Abstand haben.

Wegen der Eigenschaft der komplexen Norm existiert zu jedem Punkt $a$ und jedem $\displaystyle{\rho>{0}}$ ein eindeutig bestimmter Kreis.

Seien $\displaystyle{{k}_{{1}},{k}_{{2}}}$ zwei Kreise, deren Punkte der Gleichung

genügen.

Sind die Kreise konzentrisch, also $\displaystyle{{a}_{{1}}={a}_{{2}}}$, so haben sie entweder keinen gemeinsamen Punkt im Fall $\displaystyle{\rho_{{1}}\ne\rho_{{2}}}$ oder sie sind identisch.

Um den Schnittpunkt zweier nicht konzentrischer Kreise zu bestimmen, transformieren wir diese nun so, dass der Mittelpunkt von $\displaystyle{{k}_{{1}}}$ mit dem Ursprung zusammenfällt und der Mittelpunkt von $\displaystyle{{k}_{{2}}}$ auf der reellen Achse liegt.

Sei nun $\displaystyle{{w}={z}-{a}_{{1}}}$ bzw. $\displaystyle{{z}={w}+{a}_{{1}}}$, dann gehen die Gleichungen aus (1) in $\displaystyle{{\left|{w}\right|}=\rho_{{1}}}$ bzw. $\displaystyle{{\left|{w}+{a}_{{1}}-{a}_{{2}}\right|}=\rho_{{2}}}$ über.

Setzen wir $\displaystyle{{b}={a}_{{1}}-{a}_{{2}}}$, so lauten die Gleichungen:

Der Kreis $\displaystyle{{k}'_{{1}}}$ hat als Mittelpunkt den Ursprung.

Für den nächsten Schritt verwenden wir die Transformation $\displaystyle{{u}=\frac{{\left|{b}\right|}}{{b}}\cdot{w}}$ bzw. $\displaystyle{{w}=\frac{{b}}{{\left|{b}\right|}}\cdot{u}}$. Diese Transformation ist definiert, da die Kreise als nicht konzentrisch vorausgesetzt waren und somit $\displaystyle{{b}\ne{0}}$ gilt. Der Mittelpunkt des Kreises $\displaystyle{{k}'_{{2}}}$ wird auf die reelle Achse transformiert, ohne den Kreis $\displaystyle{{k}'_{{1}}}$ zu verändern.

Es ergibt sich: $\displaystyle{{k}{''}_{{1}}}$: $\displaystyle{{\left|\frac{{b}}{{\left|{b}\right|}}\cdot{u}\right|}=\rho_{{1}}}$, was auf $\displaystyle{{\left|{u}\right|}=\rho_{{1}}}$ bzw.

führt, also $\displaystyle{{k}{''}_{{1}}={k}'_{{1}}}$.

Für den zweiten Kreis ergibt sich: $\displaystyle{\rho_{{2}}={\left|{w}+{b}\right|}={\left|\frac{{b}}{{\left|{b}\right|}}\cdot{u}+{b}\right|}}$ $\displaystyle{={\left|\frac{{b}}{{\left|{b}\right|}}\cdot{\left({u}+{\left|{b}\right|}\right)}\right|}}$ $\displaystyle{={\left|{u}+\right|}{b}{\mid}{\mid}}$. Nun ist $\displaystyle{\epsilon\:={\left|{b}\right|}={\left|{a}_{{1}}-{a}_{{2}}\right|}}$ eine reelle Zahl nämlich genau der Abstand der Mittelpunkte der beiden Kreise und damit ergibt sich

Die Gleichung (3) können wir in der Form $\displaystyle{{\left({u}+\epsilon\right)}{\left(\overline{{u}}+\epsilon\right)}={\rho_{{2}}^{{2}}}}$ schreiben, also $\displaystyle{{u}\overline{{u}}+\epsilon{\left({u}+\overline{{u}}\right)}+\epsilon^{{2}}={\rho_{{2}}^{{2}}}}$. Wegen $\displaystyle{{u}\cdot\overline{{u}}={\rho_{{1}}^{{2}}}}$ und $\displaystyle{{2}\cdot{u}_{{x}}={2}\cdot{\mathfrak{{R}}}{\left({u}\right)}={u}+\overline{{u}}}$ erhalten wir

und nach $\displaystyle{{u}_{{x}}}$ aufgelöst:

Aus (2) erhalten wir $\displaystyle{{{u}_{{x}}^{{2}}}+{{u}_{{y}}^{{2}}}={\rho_{{1}}^{{2}}}}$, also

Da die Gleichungen (4) und (5) nur von den Radien und dem Abstand der Mittelpunkte abhängen, ist die Existenz und Anzahl der Schnittpunkte zweier Kreise durch diese drei reellen Zahlen eindeutig bestimmt.

Wir wollen im folgenden Ungleichungen herleiten, die es uns erlauben, diese Existenzfrage somit auf einfache Art zu entscheiden.