Geraden

Für \(\displaystyle a\neq 0\) heißt \(\displaystyle \gerade (p,a):=\{z\in\C|\, \langle z,a\i\rangle=\langle p,a\i\rangle\}\) Gerade durch \(\displaystyle p\) mit dem Richtungsvektor \(\displaystyle a\).

Lageverhältnisse zweier Geraden

\(\displaystyle z\in\gerade (p,a)\iff \langlez,a\i\rangle=\langlep,a\i\rangle\) und \(\displaystyle z\in\gerade (q,b)\iff \langlez,b\i\rangle=\langleq,b\i\rangle\)
\(\displaystyle \iff \langlez,a\i\rangleb=\langlep,a\i\rangleb\) und \(\displaystyle \langlez,b\i\ranglea=-\langleb,z\i\ranglea=\langleq,b\i\ranglea\)
\(\displaystyle \iff \langlez,a\i\rangleb+\langleb,z\i\ranglea=\langlep,a\i\rangleb-\langleq,b\i\ranglea\)
\(\displaystyle \iff \langlea,b\i\ranglez=\langleq,b\i\ranglea-\langlep,a\i\rangleb\)
 
 

Fall 1: \(\displaystyle \langlea,b\i\rangle=0\)

Für \(\displaystyle \langleq,b\i\ranglea=\langlep,a\i\rangleb\) sind die Geraden identisch und für \(\displaystyle \langleq,b\i\ranglea\neq\langlep,a\i\rangleb\) haben die Geraden keinen gemeinsamen Punkt.
Man definiert: Zwei Geraden \(\displaystyle \gerade (p,a)\) und \(\displaystyle \gerade (q,b)\) heißen parallel zueinander \(\displaystyle \gerade (p,a)||\gerade (q,b)\) \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle \langlea,b\i\rangle=\langlea\i,b\rangle=0\)

Fall 2: \(\displaystyle \langlea,b\i\rangle\neq0\)

Die beiden Geraden besitzen genau einen gemeinsamen Schnittpunkt, der sich mit der folgenden Formel berechnet.
\(\displaystyle s=\dfrac{\langle q,b\i\rangle a-\langle p,a\i\rangle b}{\langle a,b\i\rangle}\)

Satz (Eigenschaften von Geraden)

  1. \(\displaystyle \gerade(p,a)\) enthält genau alle Punkte der Form \(\displaystyle p+\alpha a\) für \(\displaystyle \alpha\in\R\); insbesondere ist \(\displaystyle p\in\gerade(p,a)\)
  2. Für \(\displaystyle p,q\in\C\) mit \(\displaystyle p\neq q\) gibt es genau eine Gerade \(\displaystyle g\) mit \(\displaystyle p,q\in g\), nämlich \(\displaystyle g=\gerade(p,q-p)\)

Beweis

(i) \(\displaystyle \langlep+\alpha a,a \i\rangle=\langlep,a\i\rangle\+\alpha \langlea,a\i\rangle=\langlep,a\i\rangle\) (Satz 16G7 ii).
(ii) Wegen (i) ist \(\displaystyle p\in\gerade(p,q-p)\) für \(\displaystyle \alpha=0\) und \(\displaystyle q\in\gerade(p,q-p)\) für \(\displaystyle \alpha=1\). Sei nun \(\displaystyle \gerade(s,a)\) eine weitere Gerade mit \(\displaystyle p,q\in\gerade(s,a)\). Es gilt: \(\displaystyle \langlep,a\i\rangle=\langles,a\i\rangle\) und \(\displaystyle \langleq,a\i\rangle=\langles,a\i\rangle\), also: \(\displaystyle \langlep-q,a\i\rangle=0\). Damit ist \(\displaystyle \gerade(p,q-p)||\gerade(s,a)\). Wegen \(\displaystyle \langles,a\i\rangle(q-p)-\langlep,(q-p)\i\rangle\) \(\displaystyle =\langles,a\i\rangle(q-p)+\langleq-p,a\i\ranglep+\langlea,p\i\rangle(q-p)\) \(\displaystyle =\langles,a\i\rangle(q-p)-\langlep,a\i\rangle(q-p)=0\). Nach obigen Überlegungen stimmen beide Geraden überein.

Abstand Punkt und Gerade

Berechnung des Lotfußpunktes

lot.png
Gegeben \(\displaystyle g=\gerade (p,a)\) und Punkt \(\displaystyle q\). Geraden senkrecht zu \(\displaystyle a\) durch \(\displaystyle q\) ist \(\displaystyle h=\gerade(q,a\i)\). Der Lotfußpunkt \(\displaystyle z\) ist der Schnittpunkt der beiden Geraden \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle h\).
\(\displaystyle z=\dfrac{\langleq,-a\ranglea-\langlep,a\i\ranglea\i}{\langlea,-a\rangle}\) \(\displaystyle =\dfrac{\langleq,a\ranglea+\langlep,a\i\ranglea\i}{\langlea,a\rangle}\) \(\displaystyle =\dfrac{\langleq,a\ranglea+\langlea,a\ranglep-\langlep,a\ranglea}{|a|^2}\) Also:

Formel (Lotfußpunkt)

\(\displaystyle z=p+\dfrac{\langleq-p,a\ranglea}{|a|^2}\)
Abstand Punkt \(\displaystyle q\) zur Geraden \(\displaystyle g=\gerade (p,a)\):
\(\displaystyle d(g,q)=|z-q|=\ntxbraceI{p-q+\dfrac{\langleq-p,a\ranglea}{|a|^2}}\)
Rechtfertigung: Jeder Punkt \(\displaystyle s\in g\) (\(\displaystyle s\neq z\)) hat einen größeren Abstand zu \(\displaystyle q\).
\(\displaystyle |q-z|^2<|q-s|^2\) \(\displaystyle \iff |q|^2-2\langleq,z\rangle+|z|^2<|q|^2-2\langleq,s\rangle+|s|^2\) \(\displaystyle \iff 2\langleq,s-z\rangle+|z|^2<|s|^2\) \(\displaystyle \iff 2\langleq-z,s-z\rangle+2\langlez,s-z\rangle+|z|^2<|s|^2\) \(\displaystyle \iff -2|z|^2+2\langlez,s\rangle+|z|^2<|s|^2\) \(\displaystyle \iff 0<|s-z|^2\).
\(\displaystyle \langleq-z,s-z\rangle=0\) muss noch gezeigt werden.
Wegen \(\displaystyle z\in g\) gibt es \(\displaystyle \lambda\in\R\) mit \(\displaystyle z=p+\lambda a\) und wegen \(\displaystyle z\in h\) gibt es \(\displaystyle \my\in\R\) mit \(\displaystyle z=q+\my ai\).\(\displaystyle \langlez-q,z-s\rangle=\langleq+\my ai-q,p+\lambda a-s\rangle\) \(\displaystyle =\lambda(\underbrace{\langleai,p\rangle-\langleai,s\rangle}_{=0 \, (s\in g)})+\lambda\my\underbrace{\langleai,a\rangle}_{=0}=0\).

Hochtechnologie ist im wesentlichen mathematische Technologie.

Enquete-Kommission der Amerikanischen Akademie der Wissenschaften

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