Geraden in der komplexen Ebene

Für zwei Punkte a,b∈Ca,b\in\C mit a≠ba\ne b heißt die Menge
a ⊻ b={a+λ(b−a)∣λ∈R}a \vgr b= \{ a + \lambda (b-a)\quad | \quad \lambda\in\R \} (1)
Gerade durch aa und bb. Diese Bezeichnung ist gerechtfertigt, da a∈a ⊻ ba\in a \vgr b für λ=0\lambda=0 und b∈a ⊻ bb\in a \vgr b für λ=1\lambda=1 gilt. Man spricht dann auch von der Verbindungsgeraden durch aa und bb. Dabei ist die Voraussetzung a≠ba\ne b wesentlich, da andernfalls a ⊻ ba\vgr b nur aus einem Punkt bestehen würde. Die in (1) definierte Gerade existiert, da der sie beschreibende Ausdruck für alle a≠b\displaystyle{{a}\ne{b}} und λ∈C\displaystyle{\lambda\in\mathbb{C}} definiert ist.
Wir bezeichnen Geraden mit kleinen Buchstaben, z.B. g=a ⊻ bg=a \vgr b.
Punkte heißen kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die sie enthält. Punkte sind in allgemeiner Lage, wenn es keine Gerade gibt, die sie enthält; sie also nicht kollinear sind.
Wenn die Gerade wie in (1) gegeben ist, gilt für einen Punkt zz auf dieser Geraden:
z=a+λ(b−a)z = a + \lambda (b-a)\quad für ein λ∈R \lambda\in\R.
Da a≠ba \ne b bedeutet dies ebenfalls, dass z−ab−a∈R\frac {z-a}{b-a} \in \R, womit gilt:

Satz GF27

Seien a,b∈Ca,b\in\C zwei verschiedene Punkte. Dann liegt ein Punkt zz genau dann auf der Geraden durch aa und b\displaystyle{{b}} definierten Geraden, wenn z−ab−a∈R\dfrac {z-a}{b-a} \in \R, also z−ab−a=z‾−a‾b‾−a‾\displaystyle{\frac{{{z}-{a}}}{{{b}-{a}}}=\frac{{\overline{{z}}-\overline{{a}}}}{{\overline{{b}}-\overline{{a}}}}}.

Für die Kollinearität heißt dies, dass drei paarweise verschiedene Punkte a,ba,b und cc genau dann kollinear sind, wenn c−ab−a\frac {c-a}{b-a} eine reelle Zahl ist. Dies ist wiederum damit gleichbedeutend, dass b−ac−a∈R\frac {b-a}{c-a}\in\R bzw. a−bc−b∈R\frac {a-b}{c-b}\in\R.
Denn z.B. c−ab−a∈R⇔c=a+λ(b−a)\frac {c-a}{b-a}\in \R \hArr c=a+\lambda(b-a) mit λ∈R\lambda \in \R ⇔c−b=(a−b)−λ(a−b)=(1−λ)(a−b)⇔a−bc−b=11−λ⇔a−bc−b∈R\hArr c-b = (a-b)-\lambda(a-b)=(1-\lambda)(a-b) \hArr \frac{a-b}{c-b}=\frac 1 {1-\lambda} \hArr \frac{a-b}{c-b}\in\R.
Für den Geradenbildungsoperator  ⊻ \vgr gilt nun:

Satz (Eigenschaften der Geradenbildung)

Sein a,b,c,d\displaystyle{{a},{b},{c},{d}} komplexe Zahlen mit a≠b\displaystyle{{a}\ne{b}} und c≠d\displaystyle{{c}\ne{d}}. Dann gilt
  1. Die Gerade durch a\displaystyle{{a}} und b\displaystyle{{b}} ist die gleiche, wie die durch b\displaystyle{{b}} und a\displaystyle{{a}}: a ⊻ b=b ⊻ aa\vgr b = b\vgr a
  2. aa und b\displaystyle{{b}} sind zwei verschiedene Punkte der Geraden a ⊻ b=b ⊻ aa\vgr b = b\vgr a.
  3. Die Gerade durch a\displaystyle{{a}} und b\displaystyle{{b}} ist eindeutig bestimmt.

Beweis

i. folgt aus z=a+λ(b−a)\displaystyle{{z}={a}+\lambda{\left({b}-{a}\right)}} =b+(a−b)−λ(a−b)\displaystyle{={b}+{\left({a}-{b}\right)}-\lambda{\left({a}-{b}\right)}} =b+(1−λ)(a−b)\displaystyle{={b}+{\left({1}-\lambda\right)}{\left({a}-{b}\right)}}. □\qed
ii. ergibt sich für λ=0\displaystyle{\lambda={0}} und λ=1\displaystyle{\lambda={1}} aus der Definition (1).
iii. Auf die Existenz hatten wir oben schon hingewiesen.

Schnittpunkt zweier Geraden

Schnittpunkt einer Geraden mit der xx-Achse

 
 

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Hermann Weyl

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