Das isoperimetrisches Problem

Das isoperimetrische Problem beschäftigt sich mit der Frage, welche ebene Figur bei vorgehenen Umfang uu die größte Fläche AA umfasst. In der Ebene ist die Lösung ein Kreis.

Satz C8MA

Für ebene Figuren gilt
4πA<=u24\pi A <= {u^2},(1)
die Gleichheit gilt nur für den Kreis.
Die Ungleichung (1) heißt isoperimetrische Ungleichung und wird oft in der Form
A<=u24πA<=\dfrac {u^2} {4\pi}
geschrieben.
 
 

Beweisskizze

Wir folgen hier einem Beweis von Jakob Steiner und setzen die Existenz einer Lösung voraus.
i) Die Gleichheit gilt für einen Kreis Wegen A=πr2A=\pi r^2 und u=2πru=2\pi r sieht man sofern, dass in (1) die Gleichheit gilt.
IsoperimetBew.png
ii) Die gesuchte Figur muss konvex sein.
Denn: wäre die Figur nicht konvex, gäbe es mindestens eine Einbuchtung (vgl. nebenstehende [!Abbildung]) und wir könnten einen Teil der Umrandung durch Spiegelung nach außen stülpen. Die neu enstehende Figur hätte den gleichen Umfang, aber einen größeren Flächeninhalt. Da wir dies mit allen Einbuchtungen machen können, erhalten wir im Ergebnis eine konvexe Figur, mit dem gleichen Umfang, aber größeren Flächeninhalt.
iii) Halbierungsansatz Wir wählen auf dem Umfang unserer (nach i) konvexen) Figur zwei Punkte AA und BB so, dass der durchlaufene Umfang von AA nach BB genauso groß ist, wie der von BB nach AA. Die Verbindungsstrecke AB\ovl{AB} muss unsere Figur in zwei flächengleiche Teilfiguren zerlegen.
Denn angenommen wir haben zwei Punkte AA und BB auf dem Umfang, deren Verbindungsstrecke den Flächeninhalt unserer Figur nicht halbiert. Dann muss der Flächeninhalt einer Teilfigur größer sein als der der anderen. Wenn wir nun die größere Teilfigur an der Strecke AB\ovl{AB} spiegeln, erhalten wir eine Figur mit größerem Flächeninhalt bei gleichem Umfang.
iv) Wir zeigen jetzt, dass unter allen Figuren über einer Basisstrecke AB\ovl{AB}, der Halbkreis den größten Flächeninhalt bei vorgegeben Umfang hat.
Man betrachte zu einem beliebigen Punkt CC der Kurve das Dreieck ABCABC. Dieser Punkte CC teilt die Fläche AA zwischen der Kurve und der Stecke AB\ovl{AB} in drei Teilflächen auf: die Fläche A1A_1 des Dreiecks ABCABC und die Flächen A2A_2 zwischen der Kurve und der Dreiecksseite AC\ovl{AC} und A3A_3 zwischen der Kurve und der Seite CB\ovl{CB}.
Wir variieren die Winkel γ\gamma bei CC, lassen jedoch die Strecken b=ACb=\ovl{AC} und a=CBa=\ovl{CB} (und damit den Umfang der Kurve) unverändert. Mit Formel 5518B gilt A1=absinγA_1=ab\cdot\sin\gamma. Da der Sinus sein Maximum bei 90°90° annimmt, wird A1A_1 maximal, wenn das Dreieck ABCABC rechtwinklig ist.
Die gesuchte Fläche hat also jeweils rechte Winkel in beliebigen Punkten CC der Kurve und ist somit nach dem Satz des Thales ein Halbkreis. \qed

Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom Radius Null und nennen ihn ihren Standpunkt.

David Hilbert

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