Existenz des minimalen Umkreises im allgemeinen Fall

In Beweis von Satz C8N9 haben wir einen konstruktiven Ansatz gewählt, um die Existenz des minimalen Umkreises für endliche Punktmengen zu zeigen und haben im wesentlichen elementargeometrische Argumente verwendet. Für den Beweis im allgemeinen Fall werden wir analytische Hilfsmittel heranziehen.

Satz C978 (Existenz des minimalen Umkreises)

Sei \(\displaystyle A\subset\R^2\) eine beliebige Punktmenge. Dann existiert der minimale Umkreis und er ist nach Satz C979 sogar eindeutig bestimmt.
 
 

Beweis

Sei \(\displaystyle R\) der (wohldefinierte) Umkreisradius. Da dieser als Infimum der Radien existierender Umkreise definiert ist, finden wir für jede natürliche Zahl \(\displaystyle n>=1\) einen Umkreis \(\displaystyle K_n\) für dessen Radius \(\displaystyle r_n\) gilt: \(\displaystyle r_n<=R+\dfrac 1 n\). Sei \(\displaystyle M_n\) der Mittelpunkt dieses Kreises. Die Folge der \(\displaystyle (M_n)_{n\in\N^+}\) ist eine Zahlenfolge im \(\displaystyle \R^2\). Diese Folge ist beschränkt, denn für zwei Folgenglieder und einem beliebigen Punkt \(\displaystyle P\in A\) gilt:
\(\displaystyle d(M_i,M_j)<=d(M_i,P)+d(P,M_j)\) \(\displaystyle <=R+\dfrac 1 i+R+\dfrac 1 j<=2R+2\).
Daher können wir nun aus dieser Folge eine konvergente Teilfolge \(\displaystyle (M_k)\) auswählen (siehe Satz 12UH und Bemerkung 165N). Der Grenzwert dieser Teilfolge sei \(\displaystyle M\). Wir zeigen nun, dass \(\displaystyle K(M,R)\) - der Kreis um \(\displaystyle M\) mit dem Radius \(\displaystyle R\) - ein Umkreis um \(\displaystyle A\) ist, womit die Existenz eines minimalen Umkreises gezeigt wäre.
Sei \(\displaystyle \phi: \N\to\N\) die Auswahlfunktion, die jedem Teilfolgenindex dem Index der originalen Folge \(\displaystyle (M_n)\) zuordnet. Dann gilt \(\displaystyle \phi(m)>=m\) für alle \(\displaystyle m\in\N^+\) und damit auch \(\displaystyle \dfrac 1{\phi(m)}<=\dfrac 1 m\).
Angenommen \(\displaystyle K(M,R)\) ist kein Umkreis. Dann gibt es ein \(\displaystyle P\in A\) mit
(1)
\(\displaystyle d(M,P)>R=R+\epsilon\)
für ein festes \(\displaystyle \epsilon>0\).
Da \(\displaystyle M\) Grenzwert ist, können wir für dieses \(\displaystyle \epsilon\) ein \(\displaystyle n_0\) so wählen, dass \(\displaystyle d(M,M_n)<\dfrac \epsilon 2\) für alle \(\displaystyle n>n_0\). Speziell sei nun \(\displaystyle n>n_0\) so gewählt, dass sogar \(\displaystyle \dfrac 1{\phi(m)}<\dfrac \epsilon 2\) gelte. Dann können wir die folgende Abschätzung vornehmen: \(\displaystyle d(M,P)<=d(M_n,P) +d(M,M_n)\) \(\displaystyle <R+\dfrac 1{\phi(n)}+\dfrac \epsilon 2<=R+\dfrac \epsilon 2+\dfrac \epsilon 2=R+\epsilon\) im Widerspruch zu (1). \(\displaystyle \qed\)

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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