Das reguläre Fünfeck

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Ein reguläres Polygon mit fünf Eckpunkten heißt reguläres Fünfeck oder einfach Fünfeck, wenn keine Verwechslungen mit nichtregulären Fünfecken zu befürchten sind.
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Formeln

Winkel

Die Summe der Innenwinkel eines Fünfecks beträgt stets \(\displaystyle 540°\) und ergibt sich aus einer allgemeinen Formel für konvexe Polygone (Satz C7PF):
\(\displaystyle \sum\limits {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ\).
Der Innenwinkel - also der Winkel, den zwei benachbarte Seitenkanten miteinander einschließen - beträgt \(\displaystyle \alpha=\dfrac{540°} 5\), also
\(\displaystyle \alpha = 108^\circ\).
Bildet man ausgehend vom Mittelpunkt Dreiecke wie in nebenstehender [!Abbildung], so haben diese Dreiecke die dort angegeben Innenwinkel.
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Flächeninhalt

Wir zerlegen das Fünfeck in 5 kongruente Teildreiecke (siehe nebenstehende [!Abbildung]).Für ein Teildreieck gilt: \(\displaystyle \tan 54°=\dfrac h { a /2}\), also \(\displaystyle h=\dfrac a 2\tan 54°\), für die Dreiecksfläche ergibt sich \(\displaystyle A_D=\dfrac {a^4} 2\tan 54°\) und für das Fünfeck damit:
\(\displaystyle A= \dfrac{5}{4} \cdot a^2 \cdot \tan 54^\circ \,\approx\, 1,7204774\cdot a^2\)

Umkreis

Es gilt (siehe [!Abbildung]) \(\displaystyle \cos 54°=\dfrac {a/ 2} {r_u}\) und damit haben wir folgen Zusammenhang zwischen Umkreisradius und Seitenlänge:
\(\displaystyle a=2 \cdot r_u \cdot \cos 54^\circ\),
oder auch:
\(\displaystyle a=r_u \cdot \sqrt{\dfrac{5 - \sqrt{5}}{2}} \approx 1,1755705\cdot r_u \).
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Das Pentagramm

Die Diagonalen des Fünfecks bilden das Pentagramm - einen fünfzackigen Stern. In dessen Inneren befindet sich ein - um 180° gedrehtes - regelmäßiges Fünfeck. Diesem könnte man wieder ein Pentagramm einbeschreiben und so fort.
Der spitze Winkel im Zacken des Pentagramms beträgt \(\displaystyle 36°\), also ein Drittel des \(\displaystyle 108°\) großen Innenwinkels des Fünfecks. Diese einfachen Winkelverhältnisse führen zu reizvollen geometrischen Kombinationen von Fünfecken und Pentagrammen.

Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.

Albert Einstein

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