Das Trapez

Das Trapez ist ein Viereck, in dem zwei Seiten parallel sind. Die parallelen Seiten heißen Grundseiten des Trapezes.

Abb. 1 zeigt die typische Benennung der Bestimmungsstücke eines Trapezes. Dabei sind $\displaystyle{{a}=\overline{{{A}{B}}}}$ und $\displaystyle{{c}=\overline{{{C}{D}}}}$ die parallelen Seiten. Eine der Grundseiten (meist die längere) heißt auch Basis. Die nicht parallelen Seiten werden Schenkel genannt.

Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn seine Schenkel (also $\displaystyle{{b}}$ und $\displaystyle{{d}}$ gleich lang sind).

Für den Umfang des Trapezes gilt:

Seien $E$ und $F$ sind die Mittelpunkte der Strecken $\overline{AD}$ bzw. $\overline{BC}$ (vgl. Abb. 2). Dann ist $\overline{EF}||\overline{AB}$ (Umkehrung des Strahlensatzes). Sei $m=|\overline{EF}|$.

Die Dreiecke $\Delta DFC$ und $\Delta BGF$ sind kongruent, da die Strecken $\overline{BF}$ und $\overline{CF}$ gleich lang sind und die Winkel $\angle CFD=\angle BFG$ (Scheitelwinkel), sowie $\angle CDF=\angle BGF$ (Wechselwinkel). Damit gilt $c=|\overline{CD}|=|\overline{BG}|$. Nach Strahlensatz gilt: $\dfrac{\overline{DE}}{\overline{DA}}=\dfrac{m}{a+c}=\dfrac{1}{2}$, also

Um den Flächeninhalt $A$ des Trapezes zu bestimmen, stellen wir fest, dass es flächengleich zum Dreieck $\Delta AGD$ aus Abb. 2 ist (wegen der Kongruenz der Dreiecke $\Delta DFC$ und $\Delta BGF$). Damit gilt:

Ein Trapez heißt rechtwinklig (bzw. orthogonal), wenn es mindestens einen rechten Innenwinkel besitzt. Dann ist der Innenwinkel an der gegenüberliegenden parallelen Seite ebenfalls ein rechter Winkel. Denn die Winkel $\displaystyle{\angle{B}{A}{D}={90}°}$ und $\displaystyle{\alpha}$ sind Stufenwinkel an den parallelen Seiten $\displaystyle{{a}}$ und $\displaystyle{{c}}$ (siehe Abb. 3). Deshalb $\displaystyle{\angle{A}{D}{C}={180}°-\alpha={90}°}$.