Das Trapez

Das Trapez ist ein Viereck, in dem zwei Seiten parallel sind. Die parallelen Seiten heißen Grundseiten des Trapezes.
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Abb. 1: Typische Bezeichnungen am Trapez; Ecken: A\displaystyle{{A}}, B\displaystyle{{B}}, C\displaystyle{{C}}, D\displaystyle{{D}}; Seiten: a\displaystyle{{a}}, b\displaystyle{{b}}, c\displaystyle{{c}}, d\displaystyle{{d}}; Winkel: α\displaystyle{\alpha}, β\displaystyle{\beta}, γ\displaystyle{\gamma}, δ\displaystyle{\delta} und Höhe h\displaystyle{{h}}.
Abb. 1 zeigt die typische Benennung der Bestimmungsstücke eines Trapezes. Dabei sind a=AB\displaystyle{{a}=\overline{{{A}{B}}}} und c=CD\displaystyle{{c}=\overline{{{C}{D}}}} die parallelen Seiten. Eine der Grundseiten (meist die längere) heißt auch Basis. Die nicht parallelen Seiten werden Schenkel genannt.
Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn seine Schenkel (also b\displaystyle{{b}} und d\displaystyle{{d}} gleich lang sind).

Umfang

Für den Umfang des Trapezes gilt:
u=a+b+c+d\displaystyle{{u}={a}+{b}+{c}+{d}}

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Abb. 2: Zur Ermittlung der Länge von m\displaystyle{{m}}.
Seien EE und FF sind die Mittelpunkte der Strecken AD\overline{AD} bzw. BC\overline{BC} (vgl. Abb. 2). Dann ist EFAB\overline{EF}||\overline{AB} (Umkehrung des Strahlensatzes). Sei m=EFm=|\overline{EF}|.
Die Dreiecke ΔDFC\Delta DFC und ΔBGF\Delta BGF sind kongruent, da die Strecken BF\overline{BF} und CF\overline{CF} gleich lang sind und die Winkel CFD=BFG\angle CFD=\angle BFG (Scheitelwinkel), sowie CDF=BGF\angle CDF=\angle BGF (Wechselwinkel). Damit gilt c=CD=BGc=|\overline{CD}|=|\overline{BG}|. Nach Strahlensatz gilt: DEDA=ma+c=12\dfrac{\overline{DE}}{\overline{DA}}=\dfrac{m}{a+c}=\dfrac{1}{2}, also
m=a+c2m=\dfrac{a+c}2

Flächeninhalt des Trapezes

Um den Flächeninhalt AA des Trapezes zu bestimmen, stellen wir fest, dass es flächengleich zum Dreieck ΔAGD\Delta AGD aus Abb. 2 ist (wegen der Kongruenz der Dreiecke ΔDFC\Delta DFC und ΔBGF\Delta BGF). Damit gilt:
A=(a+c)h2=mhA=\dfrac{(a+c)\cdot h}2=mh.

Rechtwinkliges Trapez

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Abb. 3: Rechtwinkliges Trapez mit den beiden rechten Innenwinkeln
Ein Trapez heißt rechtwinklig (bzw. orthogonal), wenn es mindestens einen rechten Innenwinkel besitzt. Dann ist der Innenwinkel an der gegenüberliegenden parallelen Seite ebenfalls ein rechter Winkel. Denn die Winkel BAD=90°\displaystyle{\angle{B}{A}{D}={90}°} und α\displaystyle{\alpha} sind Stufenwinkel an den parallelen Seiten a\displaystyle{{a}} und c\displaystyle{{c}} (siehe Abb. 3). Deshalb ADC=180°α=90°\displaystyle{\angle{A}{D}{C}={180}°-\alpha={90}°}.
 
 

Scherzhafte Beispiele haben manchmal größere Bedeutung als ernste.

Michael Stifel

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