Das Trapez

Sind in einem Viereck zwei Seiten parallel, so heißt es Trapez.
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Die Grafik zeigt die typische Benennung der Bestimmungsstücke eines Trapezes. Dabei sind \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle c\) die parallelen Seiten. Eine parallele Seite (meist die längere) heißt auch Basis. Die nicht parallelen Seiten werden Schenkel genannt.
Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn seine Schenkel (also \(\displaystyle b\) und \(\displaystyle d\) gleich lang sind).
Trapez.png
In nebenstehender Grafik sind zur Herleitung grundlegender Beziehungen einige Hilfsgrößen eingezeichnet. \(\displaystyle E\) und \(\displaystyle F\) sind die Mittelpunkte der Strecken \(\displaystyle \overline{AD}\) bzw. \(\displaystyle \overline{BC}\). Dann ist \(\displaystyle \overline{EF}||\overline{AB}\) (Umkehrung des Strahlensatzes).
Sei \(\displaystyle m=\overline{EF}\). Die Dreiecke \(\displaystyle \Delta DFC\) und \(\displaystyle \Delta BGF\) sind kongruent, da die Strecken \(\displaystyle \overline{BF}\) und \(\displaystyle \overline{CF}\) gleich lang sind und die Winkel \(\displaystyle \angle CFD=\angle BFG\) (Scheitelwinkel), sowie \(\displaystyle \angle CDF=\angle BGF\) (Wechselwinkel). Damit gilt \(\displaystyle c=\overline{CD}=\overline{BG}\). Nach Strahlensatz gilt: \(\displaystyle \dfrac{\overline{DE}}{\overline{DA}}=\dfrac{m}{a+c}=\dfrac{1}{2}\), also auch
\(\displaystyle m=\dfrac{a+c}2\)
 
 

Flächeninhalt

Um den Flächeninhalt \(\displaystyle A\) des Trapezes zu bestimmen, stellen wir fest, dass es flächengleich zum Dreieck \(\displaystyle \Delta AGD\) ist (wegen der Kongruenz der Dreiecke \(\displaystyle \Delta DFC\) und \(\displaystyle \Delta BGF\)). Damit ist
\(\displaystyle A=\dfrac{(a+c)\cdot h}2=mh\)

Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.

Jakob I. Bernoulli

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