Geometrische Folgen

Zahlenfolgen, bei denen der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist, heißen geometrische Folgen. Für sie gilt: an+1an=q\dfrac {a_{n+1}} {a_n}=q für ein festes q∈Rq\in \domR. Damit lässt sich für geometrische Folgen eine Rekursionsformel der Form
an+1=q⋅ana_{n+1}=q\cdot a_n(1)
angeben.
Für q=1q=1 ist die Zahlenfolge konstant, für q<0q<0 ist sie alternierend.
Der Name geometrische Folge kommt daher, dass jedes Folgenglied geometrisches Mittel seiner Nachbarn ist:
an=an−1⋅an+1a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}.
(Dies gilt natürlich nur insoweit, dass die Glieder alle positiv sind.)
Mit der Definition (1) ergibt sich an=qan−1a_n=qa_{n-1}, also anq=an−1\dfrac {a_n} q=a_{n-1}; andererseits ist an+1=q⋅ana_{n+1}=q\cdot a_n und wenn man beide Gleichungen multipliziert erhält man an2=an−1⋅an+1{a_n}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}, womit die Behauptung offensichtlich ist.
Berechnet man die einzelnen Glieder unter Benutzung von (1): a1=q⋅a0a_1=q\cdot a_0, a2=q⋅a1=q2⋅a0a_2=q\cdot a_1=q^2\cdot a_0, usw., kann man hieraus ableiten:
 
 

Formel 5728D (Explizite Form der geometrischen Folge)

an=qn⋅a0a_n=q^{n} \cdot a_0(2)

Beweis

Der Beweis kann mittels vollständiger Induktion geführt werden, wir zeigen hier nur den Induktionsschritt: an+1=q⋅an=q⋅qn⋅a0=qn+1⋅a0a_{n+1}=q\cdot a_n=q\cdot q^{n} \cdot a_0=q^{n+1} \cdot a_0 □\qed

Formel 5728E (Partialsumme der geometrischen Folge)

Für die geometrische Folge (1) ist die nn-te Partialsumme:
sn=∑k=0nak=a0 1−qn+11−qs_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k=a_0\, \dfrac {1-q^{n+1}}{1-q}.

Beweis

Es gilt nach (2): sn=∑k=0nak=∑k=0nqn⋅a0=a0∑k=0nqns_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k= \sum\limits_{k=0}^n q^{n} \cdot a_0=a_0\sum\limits_{k=0}^n q^{n}. Diese Summe wurde schon im Beispiel 5409A untersucht. □\qed

Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.

Albert Einstein

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