Arithmetische Folgen

Zahlenfolgen, bei denen die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist, heißen arithmetische Folgen. Es gilt für sie an+1−an=da_{n+1}-a_n=d für ein festes d∈Rd\in\domR. Damit lässt sich für eine arithmetische Zahlenfolge immer eine Rekursionsformel der Form
an+1=an+da_{n+1}=a_n+d(1)
angeben.

Beispiel

Sowohl die Folge der geraden als auch der ungeraden natürlichen Zahlen sind arithmetische Zahlenfolgen, wobei für beide d=2d=2 gilt. Ihre gemeinsame Rekursionsformel ist
an+1=an+2a_{n+1}=a_n+2.(2)
Sie unterscheiden sich nur durch das Anfangsglied, a0=0a_0=0 für gerade und a0=1a_0=1 für die ungeraden Zahlen.
Der Name arithmetische Folge rührt daher, dass jedes Folgenglied arithmetisches Mittel seines Vorgängers und seines Nachfolgers ist:
an=an−1+an+12a_n=\dfrac {a_{n-1}+a_{n+1}} 2(3)
Es gilt an=an−1+da_n=a_{n-1}+d also an−d=an−1a_n-d=a_{n-1} und an+1=an+da_{n+1}=a_n+d. Addiert man diese beiden Gleichungen, erkennt man, dass (3) gilt.
Aus der in (1) gegebenen Form kann man die explizite Form durch folgende Überlegung ableiten. Es gilt: a1=a0+da_1=a_0+d, a2=a1+d=a0+2da_2=a_1+d=a_0+2d, a3=a2+d=a0+3da_3=a_2+d=a_0+3d usw.
Hieraus leiten wir ab:

Formel 5728A (Explizite Form der arithmetischen Zahlenfolge)

Für die arithmetische Zahlenfolge (1) ergibt sich die explizite Form mit
an=a0+n⋅da_n=a_0+n\cdot d(4)

Beweis

Mittels vollständiger Induktion verifiziert man die Formel schnell:
an+1=an+d=a0+n⋅d+d=a0+(n+1)⋅da_{n+1}=a_n+d=a_0+n\cdot d+d=a_0+(n+1)\cdot d □\qed
Summiert man die Glieder von 00 bis nn auf, erhält man:

Formel 5728B (Partialsumme der arithmetischen Folge)

Für die arithmetische Folge (1) ist die nn-te Partialsumme:
sn=∑k=0nak=n+12 (2a0+nd)s_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k=\dfrac {n+1} 2 \, (2a_0+nd).(5)

Beweis

sn=∑k=0nak=∑k=0n(a0+kd)s_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k = \sum\limits_{k=0}^n (a_0+kd) nach (4)
=∑k=0na0+d∑k=0nk=\sum\limits_{k=0}^n a_0+ d\sum\limits_{k=0}^n k =(n+1)a0+d∑k=0nk=(n+1)a0+n(n+1)2d= (n+1)a_0+d\sum\limits_{k=0}^n k=(n+1)a_0+\dfrac {n(n+1)}2 d (nach Beispiel 5728C)
=n+12 (2a0+nd)=\dfrac {n+1} 2 \, (2a_0+nd) □\qed

Beispiel

Für die in (2) angegebene Rekursionsformel ergibt sich die explizite Formel mit an=a0+2na_n=a_0+2n, woraus wir für die geraden Zahlen die Formel an=2na_n=2n und für die ungeraden an=2n+1a_n=2n+1 erhalten.
Für die Partialsummen ergibt sich dann nach (5):
sn=n+12 (2a0+2n)=(n+1)(a0+n)s_n=\dfrac {n+1} 2 \, (2a_0+2n)=(n+1)(a_0+n)
und speziell für die geraden Zahlen sn=n(n+1)s_n=n(n+1) und für die ungeraden Zahlen sn=(n+1)2s_n=(n+1)^2, was wir schon im Beispiel 5227A nachgewiesen haben.
 
 

Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

Albert Einstein

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