Fibonacci-Zahlen
Die
Fibonacci-Zahlen (sprich Fibonatschi) sind eine rekursiv definierte
Zahlenfolge mit:
F 1 = F 2 = 1 F_1=F_2=1 F 1 = F 2 = 1 F n + 1 = F n + F n − 1 F_{n+1}=F_n+F_{n-1} F n + 1 = F n + F n − 1 .
Die ersten Glieder dieser
Folge sind: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55...
Die
Folge wächst relativ schnell.
Für diese
Folge kann man auch eine geschlossene Darstellung angeben:
F n = 1 5 [ ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n ] F_n=\dfrac 1 {\sqrt 5} \, \ntxbraceL{ {\braceNT {\dfrac {1+\sqrt 5} 2 }}^n - {\braceNT {\dfrac {1-\sqrt 5} 2 }}^n} F n = 5 1 [ ( 2 1 + 5 ) n − ( 2 1 − 5 ) n ] ,
was man mit einem bisschen Rechnerei nachvollziehen kann.
Satz 15VW
Für die
Fibonacci-Zahlen F n F_n F n gelten die folgenden Beziehungen
1 + ∑ k = 1 n F k = F n + 2 1+\sum\limits_{k=1}^{n}F_k =F_{n+2} 1 + k = 1 ∑ n F k = F n + 2 ∑ k = 1 n F 2 k − 1 = F 2 n \sum\limits_{k=1}^{n}F_{2k-1} =F_{2n} k = 1 ∑ n F 2 k − 1 = F 2 n 1 + ∑ k = 1 n F 2 k = F 2 n + 1 1+\sum\limits_{k=1}^{n}F_{2k} =F_{2n+1} 1 + k = 1 ∑ n F 2 k = F 2 n + 1 ∑ k = 1 n F k 2 = F n F n + 1 \sum\limits_{k=1}^{n}F_k^2 =F_{n}F_{n+1} k = 1 ∑ n F k 2 = F n F n + 1 F m + n = F m − 1 F n + F m F n + 1 F_{m+n}=F_{m-1}F_n+F_mF_{n+1} F m + n = F m − 1 F n + F m F n + 1 F 2 n + 1 = F n 2 + F n + 1 2 \nohtml F_{2n+1}=F_n^2+F_{n+1}^2 F 2 n + 1 = F n 2 + F n + 1 2
Beweis
(i) Induktionsanfang:
1 + F 1 = F 3 1+F_1=F_3 1 + F 1 = F 3 .
Induktionsschritt:
1 + ∑ k = 1 n + 1 F n 1+\sum\limits_{k=1}^{n+1}F_n 1 + k = 1 ∑ n + 1 F n = 1 + ∑ k = 1 n F n + F n + 1 =1+\sum\limits_{k=1}^{n}F_n+ F_{n+1} = 1 + k = 1 ∑ n F n + F n + 1 = F n + 2 + F n + 1 = F n + 3 =F_{n+2}+ F_{n+1}=F_{n+3} = F n + 2 + F n + 1 = F n + 3 (ii) Induktionsanfang:
F 1 = F 2 = 1 F_1=F_2=1 F 1 = F 2 = 1 Induktionsschritt:
∑ k = 1 n + 1 F 2 k − 1 = ∑ k = 1 n F 2 k − 1 + F 2 n + 1 \sum\limits_{k=1}^{n+1}F_{2k-1}=\sum\limits_{k=1}^{n}F_{2k-1}+F_{2n+1} k = 1 ∑ n + 1 F 2 k − 1 = k = 1 ∑ n F 2 k − 1 + F 2 n + 1 = F 2 n + F 2 n + 1 = F 2 ( n + 1 ) =F_{2n}+F_{2n+1}=F_{2(n+1)} = F 2 n + F 2 n + 1 = F 2 ( n + 1 ) Induktionsanfang:
1 + F 2 = 2 = F 3 1+ F_2=2=F_3 1 + F 2 = 2 = F 3 Induktionsschritt:
1 + ∑ k = 1 n + 1 F 2 k = 1 + ∑ k = 1 n F 2 k + F 2 n + 2 1+\sum\limits_{k=1}^{n+1}F_{2k} =1+\sum\limits_{k=1}^{n}F_{2k}+F_{2n+2} 1 + k = 1 ∑ n + 1 F 2 k = 1 + k = 1 ∑ n F 2 k + F 2 n + 2 = F 2 n + 1 + F 2 n + 2 = F 2 n + 3 = F 2 ( n + 1 ) + 1 =F_{2n+1}+F_{2n+2}=F_{2n+3}=F_{2(n+1)+1} = F 2 n + 1 + F 2 n + 2 = F 2 n + 3 = F 2 ( n + 1 ) + 1 (iii) Induktionsanfang:
F 1 2 = 1 = F 1 F 2 F_1^2=1=F_1F_2 F 1 2 = 1 = F 1 F 2 .
Induktionsschritt:
∑ k = 1 n + 1 F k 2 = ∑ k = 1 n F k 2 + F n + 1 2 \sum\limits_{k=1}^{n+1}F_k^2 =\sum\limits_{k=1}^{n}F_k^2 + F_{n+1}^2 k = 1 ∑ n + 1 F k 2 = k = 1 ∑ n F k 2 + F n + 1 2 = F n F n + 1 + F n + 1 2 =F_{n}F_{n+1}+ F_{n+1}^2 = F n F n + 1 + F n + 1 2 = F n + 1 ( F n + F n + 1 ) = F n + 1 F n + 2 =F_{n+1}(F_n+F_{n+1})=F_{n+1}F_{n+2} = F n + 1 ( F n + F n + 1 ) = F n + 1 F n + 2 (iv)
Induktion nach
n n n . Induktionsanfang:
F m + 1 = F m − 1 + F m F_{m+1}=F_{m-1}+F_m F m + 1 = F m − 1 + F m = F m − 1 ⋅ F 1 + F m ⋅ F 2 =F_{m-1}\cdot F_1+F_m\cdot F_2 = F m − 1 ⋅ F 1 + F m ⋅ F 2 . Induktionsschritt:
F m − 1 F n + 1 + F m F n + 2 F_{m-1}F_{n+1}+F_mF_{n+2} F m − 1 F n + 1 + F m F n + 2 = F m − 1 F n + F m − 1 F n − 1 + F m F n + 1 + F m F n =F_{m-1}F_{n}+F_{m-1}F_{n-1}+F_mF_{n+1}+F_mF_{n} = F m − 1 F n + F m − 1 F n − 1 + F m F n + 1 + F m F n = F m − 1 F n + F m F n + 1 ⎵ = F m + n + F m − 1 F n − 1 + F m F n ⎵ = F m + n − 1 =\underbrace{F_{m-1}F_{n}+F_mF_{n+1}}_{=F_{m+n}}+\underbrace{F_{m-1}F_{n-1}+F_mF_{n}}_{=F_{m+n-1}} = = F m + n F m − 1 F n + F m F n + 1 + = F m + n − 1 F m − 1 F n − 1 + F m F n = F m + n + F m + n − 1 = F m + n + 1 =F_{m+n}+F_{m+n-1} =F_{m+n+1} = F m + n + F m + n − 1 = F m + n + 1 Für den Spezialfall:
F 2 n + 1 = F ( n + 1 ) + n F_{2n+1}= F_{(n+1)+n} F 2 n + 1 = F ( n + 1 ) + n = F n 2 + F n + 1 2 = \nohtml F_n^2+F_{n+1}^2 = F n 2 + F n + 1 2 .
Es gibt jedoch noch einen anderen Grund für die hohe Wertschätzung der Mathematik; sie allein bietet den Naturwissenschaften ein gewisses Maß an Sicherheit, das ohne Mathematik nicht erreichbar wäre.
Albert Einstein
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