Koordinatentransformation

Unter Koordinatentransformation versteht man die Veränderung der Koordinatenwerte beim Wechsel von einem Koordinatensystem zu einem anderen. Formal gesehen ist diese Transformation ein Basiswechsel.
Koordinatentransformationen können angewendet werden, wenn sich ein Problem in einem anderen Koordinatensystem leichter lösen lässt, z. B. wird eine Transformation bei der Umrechnung von kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten oder umgekehrt verwendet, wodurch sich die geographische Breite, Länge und Höhe in kartesischen Koordinaten darstellen lässt.
 
 

Lineare Transformationen

Lineare Transformationen beschreiben die Umrechnung zwischen Koordinatensystemen, die einen gemeinsamen Ursprung haben. Formal gesehen handelt es sich hierbei um lineare Abbildungen.

Skalierung

Will man bei einem Koordinatensystem die Maßstäbe ändern, müssen die Koordinaten aller Punkte umgerechnet werden. Dabei bleiben die Verhältnisse der Strecken zueinander bestehen. Es gilt für einen Punkt auf der y-Achse:
\(\displaystyle \dfrac{y_{neu}-y_{minneu}}{y_{maxneu}-y_{minneu}} = \dfrac{y_{alt}-y_{minalt}}{y_{maxalt}-y_{minalt}}\)
Dabei sind die alt-Werte die Werte aus dem bekannten Koordinatensystem, die neu-Werte die Werte des neuen Koordinatensystems. Löst man die Gleichung nach \(\displaystyle y_{neu}\) auf, hat man den y-Wert, der im neuen Koordinatensystem einzuzeichnen ist.
Für die x-Werte gilt entsprechendes:
\(\displaystyle \dfrac{x_{neu}-x_{minneu}}{x_{maxneu}-x_{minneu}} = \dfrac{x_{alt}-x_{minalt}}{x_{maxalt}-x_{minalt}}\)

Drehungen

Wir betrachten zwei Koordinatensysteme S und S' mit einer gemeinsamen z-Achse und gemeinsamen Ursprung. S' sei gegenüber S um den Winkel \(\displaystyle \varphi\) um die z-Achse gedreht. Ein Punkt P, der im Koordinatensystem S die Koordinaten (x, y, z) hat, besitzt dann im Koordinatensystem S' die Koordinaten:
  • \(\displaystyle x'=x\cos\varphi+y\sin\varphi\),
  • \(\displaystyle y'=y\cos\varphi-x\sin\varphi\),
  • \(\displaystyle z'=z \, \)
siehe auch: Rotationsmatrix

Affine Transformationen

Die Linearen Transformationen sind ein Spezialfall der Affinen Transformationen.
siehe auch: Affine Abbildung

Translationen (Verschiebungen)

Wir betrachten zwei Koordinatensysteme S und S'. S' ist gegenüber S um den Vektor \(\displaystyle \vec{v}=(a, b, c)^T\) verschoben aber nicht verdreht.
Ein Punkt P, der im Koordinatensystem S die Koordinaten \(\displaystyle (x, y, z)\) hat, besitzt dann im Koordinatensystem S' die Koordinaten
  • \(\displaystyle x'=x-a\)
  • \(\displaystyle y'=y-b\)
  • \(\displaystyle z'=z-c\)

Anwendungen

Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten

Hauptartikel: Polarkoordinaten
Ein Punkt in der Ebene wird im kartesischen Koordinatensystem durch seine Koordinaten (x,y) und im Polarkoordinatensystem durch den Abstand \(\displaystyle r\) vom Ursprung und dem (positivem) Winkel \(\displaystyle \varphi\) zur x-Achse bestimmt.
Dabei gilt für die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten:
  • \(\displaystyle x=r\cdot\cos\varphi\)
  • \(\displaystyle y=r\cdot\sin\varphi\)
Für die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten gilt:
  • \(\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}\)
  • \(\displaystyle \varphi = \begin{cases}\arctan\dfrac yx&\mathrm{für}\ x>0\\ \arctan\dfrac yx+\pi&\mathrm{für}\ x<0, \, y\geq0\\ \arctan\dfrac yx-\pi&\mathrm{für}\ x<0, \, y<0\\ \pi/2&\plain{für}\ x=0, \, y>0\\ -\pi/2&\mathrm{für}\ x=0, \, y<0 \end{cases}\)
\(\displaystyle {}=\begin{cases}\arccos\dfrac xr&\plain{für}\ y\geq0\\ \arccos\braceNT{-\dfrac xr}-\pi&\plain{für}\ y<0 \end{cases} \)
Siehe auch: kartesisches Koordinatensystem, Rotationsmatrix, Basiswechsel

Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch.

Rene Descartes

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