Elliptische Koordinaten

Im elliptischen Koordinatensystem wird ein Punkt durch Angabe der Lage auf konfokalen Ellipsen und Hyperbeln bestimmt.
Bei zweidimensionalen elliptischen Koordinaten lautet die Umrechnung in kartesische Koordinaten
\(\displaystyle \vec r=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = C \cdot \begin{pmatrix} \cosh(u) \cdot \cos(v) \\ \sinh(u) \cdot \sin(v) \end{pmatrix}\)
u und v sind hier die Koordinaten, C ist ein Parameter des Koordinatensystems. v läuft von 0 bis 2\(\displaystyle \pi\), u ist nicht beschränkt (jedoch ist bereits mit den positiven Werten für die Beschreibung der gesamten Ebene ausreichend und eindeutig!). Die u-Koordinatenlinien sind Hyperbeln, die v-Koordinatenlinien Ellipsen; für u=0 ist die v-Koordinatenlinie zu einer Strecke von \(\displaystyle \begin{pmatrix} -C \\ 0 \end{pmatrix}\) bis \(\displaystyle \begin{pmatrix} C \\ 0 \end{pmatrix}\) entartet, für v=0 ist die u-Koordinatenlinie zu einer Halbgerade entartet, der positiven x-Achse ohne der vorher erwähnten Strecke entspricht, für v=\(\displaystyle \pi\) ist die u-Koordinatenlinie die entsprechende Halbgerade auf der negativen x-Achse und für v=\(\displaystyle \pi\)/2 und v=3\(\displaystyle \pi\)/2 ist die u-Koordinatenlinie die y-Achse.
EllKoor.png
Elliptische Koordinaten in der Ebene für C
Alle Ellipsen und Hyperbeln haben die gleiche lineare Exzentrizität ae=C, wobei a die große Halbachse der Ellipse bzw. Hyperbel ist. Die lineare Exzentrizität einer Ellipse, auf der u=const ist, ist e=1/coshu. Die lineare Exzentrizität einer Hyperbel, auf der v=const ist, ist \(\displaystyle e=1/\cos v\) .
Diese elliptischen Koordinaten können auf verschiedenen Arten auf den dreidimensionalen Raum erweitert werden. Bei zylindrischen elliptischen Koordinaten wird einfach die kartesische z - Koordinate als weitere Koordinate hinzugefügt. Bei polaren elliptischen Koordinaten wird die Ebene um einen Winkel \(\displaystyle \theta\) gedreht, der dann die zusätzliche Koordinate bildet:
\(\displaystyle \vec r\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = C \cdot \ntxbraceL{\cosh(u) \cdot \cos(v) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \sinh(u) \cdot \sin(v) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ \cos(\theta) \\ \sin(\theta) \end{pmatrix}}\)
Schließlich gibt es noch räumlich elliptische Koordinaten:
\(\displaystyle \vec r\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = C \cdot \ntxbraceL{\cosh(u) \cdot \cos(v) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \sinh(u) \cdot \sin(v) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ \cos(\theta) \\ b \cdot \sin(\theta) \end{pmatrix}}\)
Hier ist b ein weiterer Parameter des Koordinatensystems. Die \(\displaystyle \theta\)-Koordinatenlinien sind hier Ellipsen. v läuft hier von 0 bis \(\displaystyle \pi\), u von 0 bis unendlich und \(\displaystyle \theta\) von 0 bis 2\(\displaystyle \pi\).
 
 

Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.

Albert Einstein

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