Polarkoordinaten

Die Polarkoordinaten (auch: Kreiskoordinaten) eines Punktes in der euklidischen Ebene werden in Bezug auf einen Koordinatenursprung (einen Punkt der Ebene) und eine Richtung (einen im Koordinatenursprung beginnenden Strahl) angegeben.
Ebene_polarkoordinaten.PNG
Ebene Polarkoordinaten und ihre Transformation in kartesische Koordinaten
Die Koordinate r, eine Länge, wird als Radius, die Winkelkoordinate φ\phi als Azimut bezeichnet.
Für die Funktionaldeterminante in ebenen Polarkoordinaten erhält man
det⁡∂(x,y)∂(r,φ)=∣cos⁡φ−rsin⁡φsin⁡φrcos⁡φ∣=rcos⁡φcos⁡φ+rsin⁡φsin⁡φ=r\det\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}=\begin{vmatrix} \cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi \end{vmatrix}=r\cos\varphi\cos\varphi + r\sin\varphi\sin\varphi=r
 
 

Umrechnung zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten

Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung sowie der xx-Achse in Polarkoordinatenrichtung wählt, ergibt sich
r=r cos⁡φ ex+r sin⁡φ ey \vec r=r \, \cos\varphi \, \vec e_x + r \, \sin\varphi \, \vec e_y
als Transformation zu kartesischen Koordinaten.
Polar zu kartesisch lässt sich demnach folgendermaßen umrechnen:
x=r cos⁡φx=r \, \cos\varphi
y=r sin⁡φy=r \, \sin\varphi
Für kartesisch zu polar gelten die folgenden Formeln:
r=x2+y2r=\sqrt{x^2 + y^2}
φ=arctan⁡yx\varphi = \arctan \dfrac{y}{x}
Letztere Formel stimmt allerdings nur im ersten Quadranten, genauer für x>0,y>0. Im Fall x<0 ist π\pi, und für x>0,y<0 sogar 2π2\pi zu diesem Winkel zu addieren.

Das Linienelement

Aus der obigen Transformationsgleichung
r=r cos⁡φ ex+r sin⁡φ ey\vec r=r \, \cos\varphi \, \vec e_x + r \, \sin\varphi \, \vec e_y
folgen
dx=dr cos⁡φ−r dφ sin⁡φdx=dr \, \cos\varphi - r \, d\varphi \, \sin\varphi
dy=dr sin⁡φ+r dφ cos⁡φdy=dr \, \sin\varphi + r \, d\varphi \, \cos\varphi
Für das kartesische Linienelement gilt
ds2=dx2+dy2ds^2=dx^2+dy^2
wofür in Polarkoordinaten folgt
ds2=dr2+dφ2r2ds^2=dr^2+d\varphi^2 r^2

Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten

Die Geschwindigkeit r˙\dot {\vec r} ist gegeben durch r˙=r˙er+rφ˙eφ\dot{\vec r}=\dot{r}\vec e_r + r\dot{\varphi}\vec e_\varphi
Die Beschleunigung r¨\ddot {\vec r} ist gegeben durch r¨=(r¨−rφ˙2)er+(2r˙φ˙+rφ¨)eφ\ddot{\vec r}=(\ddot r - r\dot\varphi^2) \vec e_r+(2\dot r \dot \varphi + r \ddot \varphi) \vec e_{\varphi}

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert dem Artikel Polarkoordinaten aus der frеiеn Enzyklοpädιe Wιkιpеdιa und stеht unter der Dοppellizеnz GNU-Lιzenz für freie Dokumentation und Crеative Commons CC-BY-SA 3.0 Unportеd (Kurzfassung). In der Wιkιpеdιa ist eine Listе dеr Autorеn des Originalartikels verfügbar. Da der Artikel geändert wurde, reicht die Angabe dieser Liste für eine lizenzkonforme Weiternutzung nicht aus!
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Analytische Geometrie