Zylinderkoordinaten

Zylindrische Koordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind. Diese dritte Koordinate, im Allgemeinen hh genannt, beschreibt die Höhe eines Punktes über (oder unter) der Ebene des Kreiskoordinatensystems.
Zylinderkoordinaten.PNG
Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung wie beim Kreiskoordinatensystem wählt, und eine dritte Achse (zz-Achse) senkrecht auf der Ebene errichtet, dann ergeben sich
xx = rr cos φ\phi,
yy = rr sin φ\phi
zz = hh
als Transformationsgleichungen zwischen den beiden Darstellungen. Der Abstand rr ist jetzt nicht mehr der Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung, sondern von der zz-Achse.
Die Hinzunahme der geradlinigen Koordinaten hh hat keinen Einfluss auf die Funktionaldeterminante:
det⁡∂(x,y,z)∂(r,φ,h)=∣cos⁡φ−rsin⁡φ0sin⁡φrcos⁡φ0001∣=r\det\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,h)}=\begin{vmatrix} \cos\varphi & -r\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & r\cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=r
Folglich ergibt sich für das Volumenelement dV:
dV=r dr dφ dh\mathrm{d}V=r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}h
 
 

Umrechnung kartesisch und zylindrisch

x=r cos⁡φx=r \, \cos\varphi
y=r sin⁡φy=r \, \sin\varphi
z=hz=h \quad
r=x2+y2r=\sqrt{x^2 + y^2}
φ=arctan⁡yx+πu0(−x) sgn⁡y\varphi =\arctan\dfrac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \sgn y
h=zh=z \quad
(dxdydz)=(cos⁡φ−rsin⁡φ0sin⁡φrcos⁡φ0001)⋅(drdφdh) \begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\varphi&-r\sin\varphi&0\\ \sin\varphi&r\cos\varphi&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}dr\\d\varphi\\dh\end{pmatrix}
(drdφdh)=(xx2+y2yx2+y20−yx2+y2xx2+y20001)⋅(dxdydz) \begin{pmatrix}dr\\d\varphi\\dh\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\ \dfrac{-y}{x^2+y^2}&\dfrac{x}{x^2+y^2}&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}

Die Furcht vor der Mathematik steht der Angst erheblich näher als der Ehrfurcht.

Felix Auerbach

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