Zylinderkoordinaten

Zylindrische Koordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind. Diese dritte Koordinate, im Allgemeinen \(\displaystyle h\) genannt, beschreibt die Höhe eines Punktes über (oder unter) der Ebene des Kreiskoordinatensystems.
Zylinderkoordinaten.PNG
Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung wie beim Kreiskoordinatensystem wählt, und eine dritte Achse (\(\displaystyle z\)-Achse) senkrecht auf der Ebene errichtet, dann ergeben sich
\(\displaystyle x\) = \(\displaystyle r\) cos \(\displaystyle \phi\),
\(\displaystyle y\) = \(\displaystyle r\) sin \(\displaystyle \phi\)
\(\displaystyle z\) = \(\displaystyle h\)
als Transformationsgleichungen zwischen den beiden Darstellungen. Der Abstand \(\displaystyle r\) ist jetzt nicht mehr der Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung, sondern von der \(\displaystyle z\)-Achse.
Die Hinzunahme der geradlinigen Koordinaten \(\displaystyle h\) hat keinen Einfluss auf die Funktionaldeterminante:
\(\displaystyle \det\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,h)}=\begin{vmatrix} \cos\varphi & -r\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & r\cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=r\)
Folglich ergibt sich für das Volumenelement dV:
\(\displaystyle \mathrm{d}V=r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}h\)
 
 

Umrechnung kartesisch und zylindrisch

\(\displaystyle x=r \, \cos\varphi\)
\(\displaystyle y=r \, \sin\varphi\)
\(\displaystyle z=h \quad\)
\(\displaystyle r=\sqrt{x^2 + y^2}\)
\(\displaystyle \varphi =\arctan\dfrac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \sgn y \)
\(\displaystyle h=z \quad\)
\(\displaystyle \begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\varphi&-r\sin\varphi&0\\ \sin\varphi&r\cos\varphi&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}dr\\d\varphi\\dh\end{pmatrix} \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix}dr\\d\varphi\\dh\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\ \dfrac{-y}{x^2+y^2}&\dfrac{x}{x^2+y^2}&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix} \)

Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

Albert Einstein

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