Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten (räumlichen Polarkoordinaten) wird ein Punkt des euklidischen Raums \(\displaystyle \R^3\) durch seinen Abstand vom Ursprung und durch zwei Winkel angegeben.

Begriffliche Abgrenzung

Die Polarkoordinaten (ein Abstand, ein Winkel) sind die Entsprechung der Kugelkoordinaten für die Ebene.
Die Zylinderkoordinaten beschreiben einen Punkt durch zwei Abstände und einen Winkel.
 
 

Übliche Konvention

Kugelkoordinaten.PNG
Kugelkoordinaten: die \(\displaystyle x\)-Achse zeigt in 0°-, die \(\displaystyle y\)-Achse in 90°-Richtung, die \(\displaystyle z\)-Achse steht im rechten Winkel zu den beiden anderen Achsen
Die Abbildung zeigt einen Punkt P mit den kartesischen Koordinaten \(\displaystyle (x,\, y,\, z)\) und den Kugelkoordinaten \(\displaystyle (r,\, \theta,\, \phi)\):
Die Transformationsgleichungen von kartesischen in Kugelkoordinaten lauten
\(\displaystyle {r}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\);
\(\displaystyle {\varphi}=\begin{cases} \arccos\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & für\ y\geq 0, \\ 2\pi-\arccos\dfrac x{\sqrt{x^2+y^2}} & für\ y < 0; \end{cases} \)
\(\displaystyle {\theta}=\arccot\dfrac z{\sqrt{x^2+y^2}} \ = \ \dfrac{\pi}{2} - \arctan \dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}\).
Die Rücktransformation erfolgt nach den Gleichungen
\(\displaystyle x = r \sin \theta \cos \varphi\),
\(\displaystyle y = r \sin \theta \sin \varphi\),
\(\displaystyle z = r \cos \theta \quad\).

Veranschaulichung

Sei \(\displaystyle \bm{r}\) der Ortsvektor von \(\displaystyle P\) (also der Vektor, der den Koordinatenursprung O mit P verbindet) und \(\displaystyle \bm{r} _{xy}\) die Projektion von \(\displaystyle \bm{r}\) in die \(\displaystyle x\)-\(\displaystyle y\)-Ebene. Dann haben die Kugelkoordinaten von P folgende Bedeutung:
  • Der Radius \(\displaystyle r\) ist der Abstand des Punktes \(\displaystyle P\) vom Koordinatenursprung \(\displaystyle O\), also die Länge des Vektors \(\displaystyle \bm{r}\);
  • Der Polarwinkel \(\displaystyle \theta\) ist der Winkel zwischen der positiven \(\displaystyle z\)-Achse und \(\displaystyle \bm{r}\), gezählt von \(\displaystyle 0\) bis \(\displaystyle \pi \) (0° bis 180°), und
  • Der Azimutwinkel \(\displaystyle \phi\) ist der Winkel zwischen der positiven \(\displaystyle x\)-Achse und \(\displaystyle \bm{r} _{xy}\), gezählt von \(\displaystyle 0\) bis \(\displaystyle 2 \pi \) (0° bis 360°) gegen den Uhrzeigersinn.

Andere Konventionen

Die obige Koordinatenwahl ist internationaler Konsens in der theoretischen Physik. Manchmal werden die Zeichen \(\displaystyle \theta\) und \(\displaystyle \phi\) gerade im umgekehrten Sinne verwandt, insbesondere in amerikanischer Literatur. Man sollte daher stets darauf achten, welchen Konventionen ein Autor folgt.
Der Polarwinkel \(\displaystyle \theta\) ist nicht die geographische Breite. Diese ist vielmehr als Winkel zwischen der Äquatorialebene und dem Ortsvektor definiert und nimmt Werte zwischen -90° und 90° an. Wird sie mit \(\displaystyle \phi\) bezeichnet, so ist \(\displaystyle \phi\) = 90° - \(\displaystyle \theta,\, \theta\) = 90° - \(\displaystyle \phi\). Hingegen kann man \(\displaystyle \lambda\) ohne weiteres mit der geographischen Länge östlich von Greenwich gleichsetzen.
Des Weiteren ist die obige Konstruktion in gewisser Hinsicht inkonsistent zum Aufbau der ebenen Polarkoordinaten. Für manche Probleme ist es praktischer, die Darstellung
\(\displaystyle x = r \cos \theta \cos \varphi\),
\(\displaystyle y = r \cos \theta \sin \varphi\) und
\(\displaystyle z = r \sin \theta \quad\).
zu benutzen. In dieser Darstellung entspricht \(\displaystyle \theta\) der geographischen Breite.

Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

Albert Einstein

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert dem Artikel Kugelkoordinaten aus der frеiеn Enzyklοpädιe Wιkιpеdιa und stеht unter der Dοppellizеnz GNU-Lιzenz für freie Dokumentation und Crеative Commons CC-BY-SA 3.0 Unportеd (Kurzfassung). In der Wιkιpеdιa ist eine Listе dеr Autorеn des Originalartikels verfügbar. Da der Artikel geändert wurde, reicht die Angabe dieser Liste für eine lizenzkonforme Weiternutzung nicht aus!
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе