Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten (räumlichen Polarkoordinaten) wird ein Punkt des euklidischen Raums R3\R^3 durch seinen Abstand vom Ursprung und durch zwei Winkel angegeben.

Begriffliche Abgrenzung

Die Polarkoordinaten (ein Abstand, ein Winkel) sind die Entsprechung der Kugelkoordinaten für die Ebene.
Die Zylinderkoordinaten beschreiben einen Punkt durch zwei Abstände und einen Winkel.

Übliche Konvention

Kugelkoordinaten.PNG
Kugelkoordinaten: die xx-Achse zeigt in 0°-, die yy-Achse in 90°-Richtung, die zz-Achse steht im rechten Winkel zu den beiden anderen Achsen
Die Abbildung zeigt einen Punkt P mit den kartesischen Koordinaten (x, y, z)(x,\, y,\, z) und den Kugelkoordinaten (r, θ, φ)(r,\, \theta,\, \phi):
Die Transformationsgleichungen von kartesischen in Kugelkoordinaten lauten
r=x2+y2+z2{r}=\sqrt{x^2+y^2+z^2};
φ={arccos⁡xx2+y2fu¨r y≥0,2π−arccos⁡xx2+y2fu¨r y<0;{\varphi}=\begin{cases} \arccos\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \text{für } y\geq 0, \\ 2\pi-\arccos\dfrac x{\sqrt{x^2+y^2}} & \text{für } y \lt 0; \end{cases}
θ=arccot⁡zx2+y2 = π2−arctan⁡zx2+y2{\theta}=\arccot\dfrac z{\sqrt{x^2+y^2}} \ = \ \dfrac{\pi}{2} - \arctan \dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}.
Die Rücktransformation erfolgt nach den Gleichungen
x=rsin⁡θcos⁡φx = r \sin \theta \cos \varphi,
y=rsin⁡θsin⁡φy = r \sin \theta \sin \varphi,
z=rcos⁡θz = r \cos \theta \quad.

Veranschaulichung

Sei r\bm{r} der Ortsvektor von PP (also der Vektor, der den Koordinatenursprung O mit P verbindet) und rxy\bm{r} _{xy} die Projektion von r\bm{r} in die xx-yy-Ebene. Dann haben die Kugelkoordinaten von P folgende Bedeutung:
  • Der Radius rr ist der Abstand des Punktes PP vom Koordinatenursprung OO, also die Länge des Vektors r\bm{r};
  • Der Polarwinkel θ\theta ist der Winkel zwischen der positiven zz-Achse und r\bm{r}, gezählt von 00 bis π\pi (0° bis 180°), und
  • Der Azimutwinkel φ\phi ist der Winkel zwischen der positiven xx-Achse und rxy\bm{r} _{xy}, gezählt von 00 bis 2π2 \pi (0° bis 360°) gegen den Uhrzeigersinn.

Andere Konventionen

Die obige Koordinatenwahl ist internationaler Konsens in der theoretischen Physik. Manchmal werden die Zeichen θ\theta und φ\phi gerade im umgekehrten Sinne verwandt, insbesondere in amerikanischer Literatur. Man sollte daher stets darauf achten, welchen Konventionen ein Autor folgt.
Der Polarwinkel θ\theta ist nicht die geographische Breite. Diese ist vielmehr als Winkel zwischen der Äquatorialebene und dem Ortsvektor definiert und nimmt Werte zwischen -90° und 90° an. Wird sie mit φ\phi bezeichnet, so ist φ\phi = 90° - θ, θ\theta,\, \theta = 90° - φ\phi. Hingegen kann man λ\lambda ohne weiteres mit der geographischen Länge östlich von Greenwich gleichsetzen.
Des Weiteren ist die obige Konstruktion in gewisser Hinsicht inkonsistent zum Aufbau der ebenen Polarkoordinaten. Für manche Probleme ist es praktischer, die Darstellung
x=rcos⁡θcos⁡φx = r \cos \theta \cos \varphi,
y=rcos⁡θsin⁡φy = r \cos \theta \sin \varphi und
z=rsin⁡θz = r \sin \theta \quad.
zu benutzen. In dieser Darstellung entspricht θ\theta der geographischen Breite.
 
 

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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