Methoden der Differentialgeometrie

Koordinatentransformationen

Koordinatentransformationen sind ein wichtiges Werkzeug der Differentialgeometrie, um die Anpassung einer Problemstellung an geometrische Objekte zu ermöglichen.
Will man Abstände auf einer Kugeloberfläche untersuchen, so wird man Kugelkoordinaten verwenden, betrachtet man euklidische Abstände im Raum, so verwendet man kartesische Koordinaten.
Ein einfacheres Beispiel ist der Übergang von kartesischen Koordinaten in der Ebene zu Polarkoordinaten, mit denen man eine Kreislinie einfacher beschreiben kann.
f(r,Φ)=(rcos⁡Φ,rsin⁡Φ)=(x,y)f(r,\Phi)=(r\cos \Phi,r\sin \Phi) = (x,y)
Die Koordinaten (x,y) berechnen sich aus (r,Φ)(r,\Phi) folgendermaßen:
  • x(r,Φ)=rcos⁡Φx(r,\Phi) = r\cos \Phi
  • y(r,Φ)=rsin⁡Φy(r,\Phi) = r\sin \Phi
xx und yy werden auch als Komponentenfunktionen von ff bezeichnet. Hierfür lassen sich die (totalen) Differentiale angeben:
dx=∂x∂rdr+∂x∂φdφ=cos⁡φdr−rsin⁡φdφ\mathrm{d}x=\dfrac{\partial x}{\partial r}\mathrm{d}r +\dfrac{\partial x}{\partial \phi}\mathrm{d}\phi = \cos \phi \mathrm{d}r - r\sin \phi \mathrm{d} \phi
dy=∂y∂rdr+∂y∂φdφ=sin⁡φdr+rcos⁡φdφ\mathrm{d}y=\dfrac{\partial y}{\partial r}\mathrm{d}r +\dfrac{\partial y}{\partial \phi}\mathrm{d}\phi = \sin \phi \mathrm{d}r + r\cos \phi \mathrm{d} \phi
Man bezeichnet dxx,dyy,dr, dφr,\, \mathrm{d}\phi als Koordinatendifferentiale. Bei diesem Beispiel fällt die Bedeutung von d als Differentialoperator mit der Bedeutung eines infinitesimalen Abstandes zusammen.
Kugelkoordinaten werden auch als krummlinige Koordinaten bezeichnet, da sie die Abstandberechnung auf einer gekrümmten Fläche, der Kugeloberfläche, ermöglichen.
Ein wesentliches Hilfsmittel der klassische Differentialgeometrie sind Koordinatentransformationen zwischen beliebigen Koordinaten, um geometrische Strukturen beschreiben zu können. Oft werden krummlinige Koordinaten verwendet.
Die aus der Analysis bekannten Differentialoperatoren werden auf krummlinige Differentialoperatoren erweitert.

Kovariante Ableitung

Ein krummliniger Differentialoperator ist z.B. die kovariante Ableitung, die im Riemannschen Raum verwendet wird.
Krummlinige Differentialoperatoren ermöglichen die Definition von Verbindungslinien in gekrümmten Räumen, z.B. die Definition von Geodäten im Riemannschen Raum. Geodätische Linien sind die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten auf einer Kugeloberfläche. Die Längenkreise auf einer Kugel sind Beispiele für geodätische Linien, nicht aber die Breitenkreise (Ausnahme: Äquator).
Mit Hilfe allgemeiner Koordinatentransformationen werden im Riemannschen Raum die Christoffelsymbole Γαβμ\Gamma^\mu_{\alpha\beta} definiert.
Die Christoffelsymbole gehen in die Definition der kovarianten Ableitung eines Vektorfeldes ein.
Die kovariante Ableitung ist eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung des flachen (euklidischen) Raumes für gekrümmte Räume. Sie reduziert sich im euklidischen Raum zur partiellen Ableitung. Im gekrümmten Raum sind die kovarianten Ableitungen eines Vektorfeldes im Allgemeinen nicht miteinander vertauschbar, ihre Nichtvertauschbarkeit wird zur Definition des Riemannschen Krümmungstensors verwendet.
Ein weiterer wichtiger Begriff im Zusammenhang mit gekrümmten Räumen ist die Parallelverschiebung. Die Parallelverschiebung eines Vektors entlang einer geschlossenen Kurve kann im gekrümmten Raum dazu führen, dass sich der verschobene Vektor mit seinem Ausgangsvektor nicht deckt.
 
 

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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