Monotonie und 1. Ableitung

Die erste Ableitung kann verwendet werden, um das Montonieverhalten einer Funktion zu erklären. Vereinfacht bedeutet eine 1. Ableitung >0 monoton wachsend, <0 monoton fallend und =0 Konstanz/ Extremwert.

Satz 15VF

Sei ff eine im Intervall II differenzierbar, dann gilt für alle x∈Ix\in I
  1. f ′(x)=0  ⟺  f\, '(x)=0\iff ff ist konstant,
  2. f ′(x)≥0  ⟺  f\, '(x)\geq0\iff ff ist monoton wachsend,
  3. f ′(x)≤0  ⟺  f\, '(x)\leq0\iff ff ist monoton fallend,
  4. f ′(x)>0  ⟹  f\, '(x)>0\implies ff ist streng monoton wachsend,
  5. f ′(x)<0  ⟹  f\, '(x)<0\implies ff ist streng monoton fallend.

Beweis

"  ⟹  \implies": Seien a,b∈Ia,b\in I mit a<ba<b. Dann gibt es auf Grund des Mittelwertsatzes ein x0∈Ix_0\in I mit
f ′(x0)= f(b)−f(a)b−af\, '(x_0)=\, \dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}.
Wegen f ′(x0)>0f\, '(x_0)>0 gilt: f(b)>f(a)f(b)>f(a) also ist ff streng monoton wachsend. Man kann die Vergleichsoperatoren austauschen und entsprechende Schlußweisen anwenden.
"⇐\Leftarrow":
(i) entspricht Satz 5317C.
(ii) Sei ff monoton wachsend. Wir wählen x0∈Ix_0\in I und für beliebiges x>x0x>x_0 gilt dann:
f(x)−f(x0)x−x0≥0\dfrac { f(x)-f(x_0)} {x-x_0}\geq 0.
Damit ist auch f ′(x0)≥f\, '(x_0)\geq. (Sollte x0x_0 zufällig der rechte Randpunkt des Intervall sein, wählen wir alle x<x0x<x_0)
(iii) erschließt man analog zu (ii) oder man geht zur Funktion −f(x)-f(x) über und benutzt (ii). □\qed
Dass für (iii) und (iv) die Umkehrung der Implikation nicht gilt, verdeutliche man sich am Beispiel f(x)=x3f(x)=x^3. Die Funktion ist streng monoton wachsend, dennoch ist f ′(0)=0f\, '(0)=0.
 
 

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

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