Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die beim mehrmaligen Durchführen eines Bernoulli-Experiments entsteht. Letzteres ist ein Zufallsexperiment, das nur zwei mögliche Ergebnisse besitzt (z.B. "Erfolg" und "Misserfolg"). Führt man ein solches Experiment sehr oft durch und ist die Erfolgswahrscheinlichkeit gering, so ist die Poisson-Verteilung eine gute Näherung für die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Poisson-Verteilung wird deshalb manchmal als die Verteilung der seltenen Ereignisse bezeichnet (siehe auch Gesetz der kleinen Zahlen). Zufallsvariablen mit einer Poisson-Verteilung genügen dem Poisson-Prozess.
Die mit \(\displaystyle P_\lambda\) bezeichnete Verteilungsfunktion wird durch den Ereignisrate genannten Parameter \(\displaystyle \lambda\) bestimmt, der gleichzeitig Erwartungswert und Varianz der Verteilung ist. Sie ordnet den natürlichen Zahlen \(\displaystyle k = 0, 1, 2, \ldots\) die Wahrscheinlichkeiten wie folgt zu:
\(\displaystyle P_\lambda (X=k) = \dfrac{\lambda^k}{k!} \, \mathrm{e}^{-\lambda}\)
wobei \(\displaystyle \mathrm{e}\) die Eulersche Zahl, \(\displaystyle \mathrm{e}^{-\lambda}\) die Exponentialfunktion und \(\displaystyle k!\) die Fakultät von \(\displaystyle k\) bezeichnen.
Die Poisson-Verteilung ist zugleich ein Spezialfall der Panjer-Verteilung.
Siméon Denis Poisson veröffentlichte 1837 diese Verteilung zusammen mit seiner Wahrscheinlichkeitstheorie in dem Werk "Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et en matière civile". ("Forschungsarbeiten zur Wahrscheinlichkeit von Urteilen im verbrecherischen Bereich und im Zivilbereich").
Erweiterungen der Poisson-Verteilung wie die Verallgemeinerte Poisson-Verteilung und die Gemischte Poisson-Verteilung werden vor allem im Bereich der Versicherungsmathematik angewandt.
 
 

Herleitung

Mit der mittleren Anzahl der eintretenden Ereignisse pro Zeiteinheit \(\displaystyle \lambda\) und der Wahrscheinlichkeit \(\displaystyle P_{n}(T)\), dass im Zeitraum \(\displaystyle T\) insgesamt \(\displaystyle n\) Ereignisse eintreten, gibt \(\displaystyle \lambda\mathrm{d}t\) die Wahrscheinlichkeit an, dass in \(\displaystyle \mathrm{d}t\) ein Ereignis stattgefunden hat, und \(\displaystyle 1-\lambda\mathrm{d}t\) die Wahrscheinlichkeit, dass in \(\displaystyle \mathrm{d}t\) kein Ereignis stattgefunden hat. Daraus resultieren die Beziehungen
\(\displaystyle P_{0}(T+\mathrm{d}t) = P_{0}(T)(1-\lambda\mathrm{d}t)\)
\(\displaystyle P_{n}(T+\mathrm{d}t) = P_{n}(T)(1-\lambda\mathrm{d}t) + P_{n-1}(T)\lambda\mathrm{d}t\).
Durch Bilden der Differenzenquotienten entsteht ein rekursives System von Differentialgleichungen:
\(\displaystyle P_{0}(T)' = -\lambda P_{0}(T)\)
\(\displaystyle P_{n}(T)' = -\lambda (P_{n}(T)-P_{n-1}(T))\).
Dieses System lässt sich durch Verwenden einer generierenden Funktion lösen. Dabei werden die \(\displaystyle P_{i}(T)\) als Koeffizienten einer Potenzreihe eingesetzt, durch Koeffizentenvergleich lässt sich ein geschlossener Ausdruck für die \(\displaystyle P_{i}(T)\) gewinnen
\(\displaystyle P_{n}(T) = \dfrac{\mathrm{e}^{-\lambda T}(\lambda T)^{n}}{n!}\).

Eigenschaften

  • Die Poisson-Verteilung \(\displaystyle P_\lambda\) wird durch den Parameter \(\displaystyle \lambda\) vollständig charakterisiert.
  • Die Poisson-Verteilung ist stationär, d.h. nicht von der Zeit abhängig.
  • In einem Poisson-Prozess ist die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem bestimmten Zeitpunkt Poisson-verteilt, die zufällige Zeit bis zum \(\displaystyle n\)-ten Ereignis Erlang-verteilt. Wichtig ist der Spezialfall \(\displaystyle n=1\), der zur Exponentialverteilung führt. Sie beschreibt die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis (sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen) eines Poissonprozesses.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion \(\displaystyle F(x)\) der Poisson-Verteilung lautet
\(\displaystyle F_{\lambda}(n)=\sum\limits_{k=0}^n P_\lambda (k) = e^{-\lambda} \sum\limits_{k=0}^n \dfrac{\lambda^k}{k!}\).

Erwartungswert, Varianz, Moment

\(\displaystyle \lambda\) ist zugleich Erwartungswert, Varianz und auch 3. zentriertes Moment \(\displaystyle (\operatorname{E} \braceNT{ (X-\operatorname{E}(X))^3 } )\), denn ;Erwartungswert
\(\displaystyle \operatorname{E}(X) =\sum\limits_{k=0}^{\infty}k\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} = \lambda e^{-\lambda}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda\)
Varianz
\(\displaystyle \operatorname{Var}(X)\)\(\displaystyle = \sum\limits_{k=0}^{\infty}(k-\lambda)^2\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\)\(\displaystyle = \sum\limits_{k=0}^{\infty}(k^{2}-2k\lambda+\lambda^{2})\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \)\(\displaystyle = \sum\limits_{k=0}^{\infty}k^{2}\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} -2\lambda^{2} +\lambda^{2}\)\(\displaystyle = \sum\limits_{k=0}^{\infty}(k(k-1)+k)\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} -\lambda^{2} \)\(\displaystyle = \sum\limits_{k=0}^{\infty}(k(k-1))\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} +\lambda -\lambda^{2}\)\(\displaystyle = \lambda^{2}\sum\limits_{k=2}^{\infty}\dfrac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}e^{-\lambda} +\lambda -\lambda^{2} = \lambda\)

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten
\(\displaystyle \operatorname{VarK}(X) = \dfrac{1}{\sqrt{\lambda}}\).

Schiefe und Wölbung

Die Schiefe ergibt sich zu
\(\displaystyle \operatorname{v}(X) = \dfrac{1}{\sqrt{\lambda}}\).
Die Wölbung lässt sich ebenfalls geschlossen darstellen als
\(\displaystyle \beta_2 = \dfrac{1}{\lambda}\).

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form
\(\displaystyle \phi_{X}(s)= \sum\limits_{k=0}^{+\infty}e^{iks}\dfrac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} \)\(\displaystyle = e^{-\lambda} \sum\limits_{k=0}^{+\infty} \dfrac{(\lambda e^{is})^{k}}{k!} \)\(\displaystyle = e^{-\lambda} e^{\lambda e^{is}}\)\(\displaystyle = e^{\lambda(e^{is}-1)}\).

Erzeugende Funktion

Für die erzeugende Funktion erhält man
\(\displaystyle g_{X}(s) = e^{\lambda(s-1)}\).

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Poisson-Verteilung ist
\(\displaystyle m_{X}(s) = e^{\lambda(e^{s}-1)}\).

Reproduktivität

Die Poisson-Verteilung ist reproduktiv, d.h. die Summe \(\displaystyle X_1+X_2\) zweier stochastisch unabhängiger Poisson-verteilter Zufallsgrößen \(\displaystyle X_1\) und \(\displaystyle X_2\) mit den Parametern \(\displaystyle \lambda_1\) und \(\displaystyle \lambda_2\) ist wieder Poisson-verteilt mit dem Parameter \(\displaystyle \lambda_1+\lambda_2\).

Symmetrie

Die Poisson-Verteilung \(\displaystyle P_{\lambda}\) hat für kleine Mittelwerte \(\displaystyle \lambda\) eine stark asymmetrische Gestalt. Für größer werdende Mittelwerte wird \(\displaystyle P_{\lambda}\) symmetrischer und lässt sich für \(\displaystyle \lambda > 30\) in guter Näherung durch die Gauß-Verteilung darstellen.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Binomialverteilung

Die Poisson-Verteilung lässt sich aus der Binomialverteilung \(\displaystyle \operatorname{Bin}(p,n)\) herleiten. Sie ist die Grenzverteilung der Binomialverteilung bei sehr kleinen Anteilen der interessierten Merkmale und sehr großem Stichprobenumfang: \(\displaystyle n\rightarrow\infty\) und \(\displaystyle p\rightarrow 0\) unter der Nebenbedingung, dass das Produkt \(\displaystyle np=\lambda\) konstant ist. \(\displaystyle \lambda\) ist dann für alle in der Grenzwertbildung betrachteten Binomialverteilungen wie auch für die resultierende Poisson-Verteilung der Erwartungswert.
Der Wert einer Poisson-verteilten Zufallsvariable an der Stelle \(\displaystyle k\) ist der Grenzwert \(\displaystyle n\to\infty\) einer Binomialverteilung mit \(\displaystyle p=\dfrac{\lambda}{n}\) an der Stelle \(\displaystyle k\):
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}P(X=k) =\lim_{n\to\infty}\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^{k}\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-k} \)\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{\lambda^{k}}{k!}\right)\left(\dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{n^{k}}\right)\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{-k} \)\(\displaystyle =\dfrac{\lambda^{k}}{k!}\cdot\lim_{n\to\infty}\underbrace{\left(\dfrac{n}{n}\cdot\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-2}{n}\cdots\dfrac{n-k+1}{n}\right)}_{\to1}\underbrace{\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n}}_{\to e^{-\lambda}}\underbrace{\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to1} =\dfrac{\lambda^{k}\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!} \)

Beziehung zur Normalverteilung

Falls die Anzahl der Ereignisse \(\displaystyle n\) sehr groß und die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens \(\displaystyle p=0{,}5\) wird, so wird aus der Poisson-Verteilung bzw. Binomial-Verteilung die Gaußsche Normalverteilung.

Beziehung zur Erlang-Verteilung

In einem Poisson-Prozess genügt die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem festgelegten Zeitpunkt der Poisson-Verteilung \(\displaystyle \operatorname{Poi}(\lambda,n)\). Die zufällige Zeit bis zum Eintreffen des \(\displaystyle n\)-ten Ereignis hingegen ist \(\displaystyle \operatorname{Erl}(\lambda,n)\) Erlang-verteilt. Im Fall \(\displaystyle n=1\) geht diese Erlang-Verteilung in eine Exponentialverteilung über \(\displaystyle \operatorname{Erl}(\lambda,1)=\operatorname{Exp}(\lambda)\). Man sagt auch, dass die Poisson-Verteilung und die Erlang-Verteilung zueinander konjugierte Verteilungen sind.

Beziehung zur Exponentialverteilung

Die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen eines Poisson-Prozesses mit dem Parameter \(\displaystyle \lambda\) ist \(\displaystyle \operatorname{Exp}(\lambda)\) exponentialverteilt.

Zufallszahlen

Zufallszahlen zur Poisson-Verteilung werden üblicherweise mit Hilfe der Inversionsmethode erzeugt.

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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