Inverse Normalverteilung

Die inverse Normalverteilung (auch inverse Gauß-Verteilung oder Wald-Verteilung genannt) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung der Brownschen Molekularewegung mit Drift v>0v>0 und Streuungskoeffizient λ>0\lambda>0 ist die zufällige Zeit des ersten Erreichens des Niveaus a>0a>0 invers normalverteilt mit den Parametern (av,a2λ2)\braceNT{\dfrac{a}{v},\dfrac{a^{2}}{\lambda^{2}}}.
siehe auch: Lévy-Prozess

Definition

Eine stetige Zufallsvariable XX genügt der inversen Normalverteilung mit den Parametern λ>0\lambda > 0 (Ereignisrate) und μ>0\mu > 0 (Mittelwert), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)={(λ2πx3)12e−λ(x−μ)22μ2xxgt;00x≤0f(x)=\begin{cases}\displaystyle \braceNT{\dfrac{\lambda}{2\pi x^3}}^{\dfrac{1}{2}}e^{\displaystyle -\dfrac{\lambda(x-\mu)^2}{2\mu^2x}} & x > 0 \\ 0 & x\leq 0 \end{cases} besitzt.
InverseG.png

Eigenschaften

Erwartungswert

Die Normalverteilung besitzt den Erwartungswert
E⁡(X)=μ \operatorname{E}(X) = \mu .

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog zu
Var⁡(X)=μ3λ\operatorname{Var}(X) = \dfrac{\mu^3}{\lambda}.

Standardabweichung

Daraus erhält man für die Standardabweichung
σ=μ3λ\sigma = \sqrt{\dfrac{\mu^3}{\lambda}}

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten
VarK⁡(X)=μλ\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\dfrac{\mu}{\lambda}}.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu
v⁡(X)=3μλ\operatorname{v}(X) = 3\sqrt{\dfrac{\mu}{\lambda}}.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form
φX(s)=eλμ(1−1−2μ2isλ)\phi_{X}(s) = e^{\dfrac{\lambda}{\mu}\braceNT{1-\sqrt{1-\dfrac{2\mu^2is}{\lambda}}}}.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Normalverteilung ist
mX(s)=eλμ(1−1−2μ2sλ)m_{X}(s) = e^{\dfrac{\lambda}{\mu}\braceNT{1-\sqrt{1-\dfrac{2\mu^2s}{\lambda}}}}.

Reproduzierbarkeit

Sind X1,…,XnX_1, \dots, X_n Zufallsvariable mit inverser Normalverteilung mit den Parametern λ\lambda und μ\mu, dann ist die Größe 1n∑i=1nXi\dfrac{1}{n}\sum\limits\limits_{i=1}^{n}X_{i} wieder eine Zufallsvariable mit einer inverse Normalverteilung, aber mit den Parametern nλn\lambda und nμn\mu.
 
 

Die Furcht vor der Mathematik steht der Angst erheblich näher als der Ehrfurcht.

Felix Auerbach

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