Gammaverteilung

Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie verwendet
  • in der Warteschlangentheorie, um die Bedienzeiten oder Reparaturzeiten zu beschreiben.
  • in der Versicherungsmathematik zur Modellierung kleinerer bis mittlerer Schäden.
 
 

Definition

Die Gammaverteilung \(\displaystyle \gamma(b,p)\) ist für \(\displaystyle x\geq 0\) durch die Wahrscheinlichkeitsdichte
\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} \dfrac{\displaystyle b^p}{\displaystyle\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-bx} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}\)
definiert. Sie besitzt die reellen Parameter \(\displaystyle b\) und \(\displaystyle p\). Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird \(\displaystyle b>0\) und \(\displaystyle p>0\) gefordert.
Der Vorfaktor \(\displaystyle b^p/\Gamma(p)\) dient der korrekten Normierung; der Ausdruck \(\displaystyle \Gamma(p)\) steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.
Gammaverteilung-Dichte.PNG
Dichte der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für b und p
Die Gammaverteilung genügt damit für \(\displaystyle x\geq 0\) der Verteilungsfunktion
\(\displaystyle F(x)=\begin{cases} \dfrac{\displaystyle\gamma(p,bx)}{\displaystyle\Gamma(p)} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}\),
wobei \(\displaystyle \gamma(p,bx)\) die unvollständige Gammafunktion ist.
Gammaverteilung-kumuliert.PNG
kumulierte Verteilungsfunktion der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für p und b

Alternative Parametrisierung

Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit \(\displaystyle p\) und \(\displaystyle b\) findet man auch häufig die folgende:
\(\displaystyle \alpha=p, \, \, \beta= \dfrac{1}{b} \).
Dichte und Momente ändern sich dabei dementsprechend (der Erwartungswert wäre hier beispielsweise \(\displaystyle \alpha \beta \)). Da diese Parametrisierung vor allem im angelsächsischen Raum vorherrscht, wird sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert \(\displaystyle ab \) und Varianz \(\displaystyle ab^2 \) zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.

Eigenschaften

\(\displaystyle f\) besitzt an der Stelle \(\displaystyle x_M=\dfrac{p-1}{b}\) ihr Maximum und an den Stellen \(\displaystyle x_W=x_M\pm \dfrac{(p-1)^\dfrac12}{b}\) Wendepunkte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist
\(\displaystyle \operatorname{E}(X)=\over{p }{ b} = \alpha\cdot\beta\)

Varianz

Die Varianz der Gammaverteilung ist
\(\displaystyle \operatorname{Var}(X)=\over{p }{ b^{2}} = \alpha \cdot \beta^{2}\)

Schiefe

Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch
\(\displaystyle \operatorname{v}(X) = \dfrac{2}{\sqrt{p}}\).

Reproduktivität

Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen \(\displaystyle X\) und \(\displaystyle Y\), die beide gammaverteilt sind mit den Parametern \(\displaystyle b\) und \(\displaystyle p_x\) bzw. \(\displaystyle p_y\), ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern \(\displaystyle b\) und \(\displaystyle p_x + p_y\).

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form
\(\displaystyle \phi_{X}(s) = \braceNT{\dfrac{b}{b-is}}^p\).

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist
\(\displaystyle m_{X}(s) = \braceNT{\dfrac{b}{b-s}}^p\).

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Betaverteilung

Wenn die Zufallsvariablen \(\displaystyle X\) mit \(\displaystyle \gamma(a,b)\)und \(\displaystyle Y\) mit \(\displaystyle \gamma(a,c)\) Gamma-verteilt sind mit den Parametern \(\displaystyle a, b\) und \(\displaystyle c\), dann ist die Größe \(\displaystyle \dfrac{X}{X+Y}\) Beta-verteilt mit
\(\displaystyle B(b,c) = \dfrac{\gamma(a,b)}{\gamma(a,b)+\gamma(a,c)}\).

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

  • Die Chi-Quadrat-Verteilung mit \(\displaystyle k\) Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den Parametern \(\displaystyle p=k/2\) und \(\displaystyle b=1/2\).

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter \(\displaystyle \lambda\) und \(\displaystyle n\) Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern \(\displaystyle p=n\) und \(\displaystyle b=\lambda\).

Beziehung zur Exponentialverteilung

  • Die Exponentialverteilung mit dem Parameter \(\displaystyle \lambda\) ist eine Gammaverteilung mit den Parametern \(\displaystyle p=1\) und \(\displaystyle b=\lambda\).
  • Die Faltung von Exponentialverteilungen mit demselben \(\displaystyle \lambda\) ergibt eine Gamma-Verteilung.
  • In Analogie zur negativen Binomialverteilung bestimmt die Gamma-Verteilung in Verallgemeinerung der Exponentialverteilung die Zeit bis zum Eintreffen des \(\displaystyle p\)-ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignis.

Beziehung zur negativen Binomialverteilung

Die Gammaverteilung ist das stetige Analogon zur diskreten negativen Binomialverteilung und die Zeit bis zum Eintreffen des \(\displaystyle p\)-ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignis.

Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung

Ist \(\displaystyle X\) Gamma-verteilt, dann ist \(\displaystyle Y=e^X\) Log-Gamma-verteilt.

Literatur

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

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