Gammaverteilung

Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie verwendet
  • in der Warteschlangentheorie, um die Bedienzeiten oder Reparaturzeiten zu beschreiben.
  • in der Versicherungsmathematik zur Modellierung kleinerer bis mittlerer Schäden.

Definition

Die Gammaverteilung γ(b,p)\gamma(b,p) ist für x≥0x\geq 0 durch die Wahrscheinlichkeitsdichte
f(x)={bpΓ(p)xp−1e−bxx≥00xlt;0f(x)=\begin{cases} \dfrac{\displaystyle b^p}{\displaystyle\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-bx} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}
definiert. Sie besitzt die reellen Parameter bb und pp. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird b>0b>0 und p>0p>0 gefordert.
Der Vorfaktor bp/Γ(p)b^p/\Gamma(p) dient der korrekten Normierung; der Ausdruck Γ(p)\Gamma(p) steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.
Gammaverteilung-Dichte.PNG
Dichte der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für b und p
Die Gammaverteilung genügt damit für x≥0x\geq 0 der Verteilungsfunktion
F(x)={γ(p,bx)Γ(p)x≥00xlt;0F(x)=\begin{cases} \dfrac{\displaystyle\gamma(p,bx)}{\displaystyle\Gamma(p)} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases},
wobei γ(p,bx)\gamma(p,bx) die unvollständige Gammafunktion ist.
Gammaverteilung-kumuliert.PNG
kumulierte Verteilungsfunktion der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für p und b

Alternative Parametrisierung

Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit pp und bb findet man auch häufig die folgende:
α=p,  β=1b \alpha=p, \, \, \beta= \dfrac{1}{b} .
Dichte und Momente ändern sich dabei dementsprechend (der Erwartungswert wäre hier beispielsweise αβ \alpha \beta ). Da diese Parametrisierung vor allem im angelsächsischen Raum vorherrscht, wird sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert ab ab und Varianz ab2 ab^2 zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.

Eigenschaften

ff besitzt an der Stelle xM=p−1bx_M=\dfrac{p-1}{b} ihr Maximum und an den Stellen xW=xM±(p−1)12bx_W=x_M\pm \dfrac{(p-1)^\dfrac12}{b} Wendepunkte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist
E⁡(X)=(pb)=α⋅β\operatorname{E}(X)=\over{p }{ b} = \alpha\cdot\beta

Varianz

Die Varianz der Gammaverteilung ist
Var⁡(X)=(pb2)=α⋅β2\operatorname{Var}(X)=\over{p }{ b^{2}} = \alpha \cdot \beta^{2}

Schiefe

Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch
v⁡(X)=2p\operatorname{v}(X) = \dfrac{2}{\sqrt{p}}.

Reproduktivität

Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen XX und YY, die beide gammaverteilt sind mit den Parametern bb und pxp_x bzw. pyp_y, ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern bb und px+pyp_x + p_y.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form
φX(s)=(bb−is)p\phi_{X}(s) = \braceNT{\dfrac{b}{b-is}}^p.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist
mX(s)=(bb−s)pm_{X}(s) = \braceNT{\dfrac{b}{b-s}}^p.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Betaverteilung

Wenn die Zufallsvariablen XX mit γ(a,b)\gamma(a,b)und YY mit γ(a,c)\gamma(a,c) Gamma-verteilt sind mit den Parametern a,ba, b und cc, dann ist die Größe XX+Y\dfrac{X}{X+Y} Beta-verteilt mit
B(b,c)=γ(a,b)γ(a,b)+γ(a,c)B(b,c) = \dfrac{\gamma(a,b)}{\gamma(a,b)+\gamma(a,c)}.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

  • Die Chi-Quadrat-Verteilung mit kk Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den Parametern p=k/2p=k/2 und b=1/2b=1/2.

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter λ\lambda und nn Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern p=np=n und b=λb=\lambda.

Beziehung zur Exponentialverteilung

  • Die Exponentialverteilung mit dem Parameter λ\lambda ist eine Gammaverteilung mit den Parametern p=1p=1 und b=λb=\lambda.
  • Die Faltung von Exponentialverteilungen mit demselben λ\lambda ergibt eine Gamma-Verteilung.
  • In Analogie zur negativen Binomialverteilung bestimmt die Gamma-Verteilung in Verallgemeinerung der Exponentialverteilung die Zeit bis zum Eintreffen des pp-ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignis.

Beziehung zur negativen Binomialverteilung

Die Gammaverteilung ist das stetige Analogon zur diskreten negativen Binomialverteilung und die Zeit bis zum Eintreffen des pp-ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignis.

Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung

Ist XX Gamma-verteilt, dann ist Y=eXY=e^X Log-Gamma-verteilt.

Literatur

 
 

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert dem Artikel Gammaverteilung aus der frеiеn Enzyklοpädιe Wιkιpеdιa und stеht unter der Dοppellizеnz GNU-Lιzenz für freie Dokumentation und Crеative Commons CC-BY-SA 3.0 Unportеd (Kurzfassung). In der Wιkιpеdιa ist eine Listе dеr Autorеn des Originalartikels verfügbar. Da der Artikel geändert wurde, reicht die Angabe dieser Liste für eine lizenzkonforme Weiternutzung nicht aus!
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Wahrscheinlichkeitstheorie