F-Verteilung

Die F-Verteilung oder Fisher-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen. Sie wird nur zum Testen verwendet, etwa bei der Varianzanalyse, um festzustellen, ob die Grundgesamtheiten zweier Stichproben die gleiche Varianz haben. Die F-Verteilung setzt sich aus den Quotienten zweier Chi-Quadrat-Verteilter Zufallsvariablen zusammen. Sie besitzt als Parameter zwei unabhängige Freiheitsgrade und bildet so eine eigene zwei-Parameter-Verteilungsfamilie.
 
 

Definition

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Dichtefunktion der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden m und
Eine stetige Zufallsvariable genügt der F-Verteilung \(\displaystyle F(m,n)\), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
\(\displaystyle f(x|m;n)=m^{\dfrac{m}{2} } n^{\dfrac{n}{2}} \cdot \dfrac{\Gamma (\dfrac{m}{2} + \dfrac{n}{2})}{\Gamma (\dfrac{m}{2}) \Gamma (\dfrac{n}{2})} \cdot \dfrac{ x^{ \dfrac{m}{2} -1}}{(mx+n)^\dfrac{m+n}{2}}\)
besitzt. Dabei ist mit \(\displaystyle \Gamma(x)\) die Gammafunktion an der Stelle x bezeichnet.

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist nur für \(\displaystyle n>2\) definiert und lautet dann
\(\displaystyle \operatorname{E}(X) = \dfrac{n}{n-2}\).

Varianz

Die Varianz ist nur für \(\displaystyle n>4\) definiert und lautet dann
\(\displaystyle \operatorname{Var}(X) = \dfrac{2 n^2 (m+n-2)}{m (n-2)^2 (n-4)}\).

Verteilungsfunktion

Da die Werte der Verteilung \(\displaystyle P(X \leq a) = F(a|n;m)\) nicht analytisch bestimmt werden können, müssen sie numerisch ermittelt werden. Man wird sie deshalb meistens einer F-Verteilungstabelle entnehmen. Eine komplette Tabellierung bezüglich aller Freiheitsgrade ist i.a. nicht notwendig, so dass die meisten Verteilungstabellen die Quantile bezüglich ausgewählter Freiheitsgrade und Wahrscheinlichkeiten angeben. Man macht sich hier auch die Beziehung zunutze:
\(\displaystyle F(p;m;n) = \dfrac{1}{F(1-p;n;m)} \, ,\)
wobei \(\displaystyle F(p;m;n)\) das \(\displaystyle p\)-Quantil der F-Verteilung mit \(\displaystyle m\) und \(\displaystyle n\) Freiheitsgraden bedeutet.

Maximum

Für \(\displaystyle m>2\) nimmt \(\displaystyle f\) an der Stelle
\(\displaystyle x_{max}=\dfrac{n (m-2)}{m (n+2)}\)
das Maximum an.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Beta-Verteilung

Die Beta-Verteilung geht \(\displaystyle p=n/2,\, q=m/2\) mit ganzzahligen \(\displaystyle n\) und \(\displaystyle m\) geht in die F-Verteilung über.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Aus den \(\displaystyle \chi_n^2\) und \(\displaystyle \chi_m^2\) Chi-Quadrat-verteilten Zufallsgrößen mit \(\displaystyle n\) bzw. \(\displaystyle m\) Freiheitsgraden lässt sich
\(\displaystyle F(m,n)=\dfrac{\dfrac{\chi_m^2}{m}}{\dfrac{\chi_n^2}{n}}\)
konstruieren. Dieser Ausdruck ist F-verteilt mit \(\displaystyle m\) und \(\displaystyle n\) Freiheitsgraden.

Beziehung zur nichtzentralen F-Verteilung

Für unabhängige Zufallsvariablen \(\displaystyle X\sim\chi^2(\delta, m)\) und \(\displaystyle Y\sim\chi^2(n)\) ist
\(\displaystyle Z=\dfrac{\dfrac{X}{m}}{\dfrac{Y}{n}}\)
verteilt nach der nichtzentralen F-Verteilung \(\displaystyle Z\sim F(\delta,m,n)\) mit nichtzentralitäts-Parameter \(\displaystyle \delta\). Dabei ist \(\displaystyle \chi^2(\delta,m)\) eine Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung mit nichtzentralitäts-Parameter \(\displaystyle \delta\) und \(\displaystyle m\) Freiheitsgraden. Für \(\displaystyle \delta=0\) ergibt sich die zentrale F-Verteilung \(\displaystyle F(m,n)\).

Beziehung zur Normalverteilung

Wenn die identischen normalverteilten Zufallsvariablen \(\displaystyle X_1^{(1)}, X_2^{(1)}, \dots , X_n^{(1)}\) und \(\displaystyle X_1^{(2)}, X_2^{(2)}, \dots , X_n^{(2)}\) die Parameter
\(\displaystyle \operatorname{E}(X_{i}^{(1)})=\mu_{1}, \sqrt{\operatorname{Var}(X_{i}^{(1)})}=\sigma_{1}\)
\(\displaystyle \operatorname{E}(X_{i}^{(2)})=\mu_{2}, \sqrt{\operatorname{Var}(X_{i}^{(2)})}=\sigma_{2}\)
mit \(\displaystyle \sigma_{1}=\sigma_{2}=\sigma\) besitzen, dann unterliegt die Zufallsvariable
\(\displaystyle Y_{n_{1}-1,n_{2}-1}:=\dfrac{(n_{2}-1)\sum\limits\limits_{i=1}^{n_{1}}(X_{i}^{(1)}-\bar{{X}}^{(1)})^{2}} {(n_{1}-1)\sum\limits\limits_{j=1}^{n_{2}}(X_{i}^{(2)}-\bar{{X}}^{(2)})^{2}}\)
einer F-Verteilung mit \(\displaystyle ((n_{1}-1,n_{2}-1))\) Freiheitsgraden. Dabei sind
\(\displaystyle \bar{X}^{(1)}=\dfrac{1}{n_{1}}\sum\limits_{i=1}^{n_{1}}X_{i}^{(1)}\quad \bar{X}^{(2)}=\dfrac{1}{n_{2}}\sum\limits_{i=1}^{n_{2}}X_{i}^{(2)}\).

Literatur

Hartung, Joachim / Elpelt, Bärbel / Klösener, Karl-Heinz: Statistik, 12. Auflage, Oldenbourg 1999, S. 156 ff., ISBN 3486249843.

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

Galileo Galilei

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