Chi-Quadrat-Verteilung

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Dichten der Chi-Quadrat-Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden \(\displaystyle n\)
Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen.
Im allgemeinen ist mit "Chi-Quadrat-Verteilung" die zentrale Chi-Quadrat-Verteilung gemeint. Ihr einziger Parameter \(\displaystyle n\) kann, muss aber nicht, eine natürliche Zahl sein und heißt ihre Zahl der Freiheitsgrade.
Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine so genannte Stichprobenverteilung, die bei der Schätzung von Verteilungsparametern, beispielsweise der Varianz, Anwendung findet. Man benutzt sie zur Beschreibung der Summe unabhängiger quadrierter standardnormalverteilter Zufallsvariablen.
 
 

Definition

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Dichte und Verteilung von mehreren Chi-quadrat Verteilten Zufallsgrößen
Die Chi-Quadrat-Verteilung mit \(\displaystyle n\) Freiheitsgraden ist die Verteilung der Summe
\(\displaystyle \chi_n^2 = Z_1^2 + \ldots + Z_n^2\)
\(\displaystyle n\) unabhängiger quadrierter standardnormalverteilter Zufallsvariablen, d. h.
\(\displaystyle Z_k\sim \mathcal{N}(0,1)\) für \(\displaystyle k = 1, \dots, n\).
Man schreibt:
\(\displaystyle \chi^2\sim\chi^2_n\, \, \)

Dichte

Die Dichte \(\displaystyle f_{n}\) der \(\displaystyle \chi_n^2\)-Verteilung mit \(\displaystyle n\) Freiheitsgraden, hat die Form:
\(\displaystyle f_{n}(x) = \begin{cases}\displaystyle \dfrac{x^{\dfrac{n}{2}-1}e^{ -\dfrac{x}{2}}}{2^{\dfrac{n}{2}}\Gamma\braceNT{\dfrac{n}{2}}} & x>0 \\ 0 & x\leq 0 \end{cases}\)
Dabei steht \(\displaystyle \Gamma(z)\) für die Gammafunktion.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion kann man nicht in elementarer Form schreiben, jedoch mit Hilfe der regularisierten unvollständigen Gammafunktion:
\(\displaystyle F_n(x)= P\braceNT{\dfrac{n}{2},\dfrac{x}{2}}\)

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Chi-Quadrat-Verteilung ist
\(\displaystyle \operatorname{E}(X) = n\).

Varianz

Die Varianz der Chi-Quadrat-Verteilung ist
\(\displaystyle \operatorname{Var}(X) = 2n\).

Modus

Der Modus der Chi-Quadrat-Verteilung ist \(\displaystyle n-2\) für \(\displaystyle n\ge 2\).

Schiefe

Die Schiefe der Chi-Quadrat-Verteilung ist
\(\displaystyle \operatorname{v}(X) = \dfrac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{n}}\).

Summe \(\displaystyle \chi\)²-verteilter Zufallsvariablen

Sind \(\displaystyle X_1,X_2,\dots ,X_n\) unabhängige Zufallsvariable, mit \(\displaystyle X_i\sim\chi^2(\nu_i)\), so gilt:
\(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim\chi^2(\sum\limits_{i=1}^n \nu_i) \)

Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung

Wenn die normalverteilten Zufallsvariablen nicht bezüglich ihres Erwartungswertes \(\displaystyle \mu_i (i = 1, \dots , n)\) zentriert sind, erhält man die nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung. Sie hat als zweiten Parameter neben \(\displaystyle n\) den Nichtzentralitätsparameter \(\displaystyle \lambda > 0\).
Seien \(\displaystyle Z_i \sim \mathcal{N}(\mu_i,1), \, i=1,2,\ldots n\), so ist
\(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n {Z_i}^2\sim \chi^2(n,\lambda)\) mit \(\displaystyle \lambda=\sum\limits_{i=1}^n {\mu_i}^2\).
Insbesondere folgt aus \(\displaystyle X\sim\chi^2(n-1)\) und \(\displaystyle Z\sim\mathcal{N}(\sqrt{\lambda},1)\), dass \(\displaystyle X+Z^2\sim\chi^2(n,\lambda)\) ist.
Eine zweite Möglichkeit, eine nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung zu erzeugen, ist als Mischverteilung der zentralen Chi-Quadrat-Verteilung. Dabei ist
\(\displaystyle \chi^2(n+2 \, j)=\chi^2(n,\lambda)\),
wenn \(\displaystyle j\sim\mathcal{P}(\dfrac{\lambda}{2})\) aus einer Poisson-Verteilung gezogen wird.
Die Dichtefunktion der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung ist
\(\displaystyle f(x)=\dfrac{\exp{\ntxbraceL{-\dfrac{1}{2}(x+\lambda)}}}{2^{\dfrac{n}{2}}} \, \sum\limits_{j=0}^\infty \dfrac{x^{\dfrac{n}{2}+j-1}\lambda^j}{2^{2j} \, \Gamma\braceNT{\dfrac{n}{2}+j} \, j!}\) für \(\displaystyle x\ge 0,\, f(x)=0\) für \(\displaystyle x< 0\).

Darstellung durch modifizierte Bessel-Funktion

Die Dichtefunktion kann alternativ auch mit Hilfe der modifizierten Bessel-Funktion erster Gattung \(\displaystyle I_q(x)\) dargestellt werden:
\(\displaystyle f(x)=\dfrac{\exp{\ntxbraceL{-\dfrac{1}{2}(x+\lambda)}} x^{\dfrac{1}{2}(n-1)} \sqrt{\lambda}}{2(\lambda x)^{\dfrac{n}{4}}} \, I_{\dfrac{n}{2}-1}\braceNT{\sqrt{\lambda x}}\) für \(\displaystyle x\ge 0\).

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Gammaverteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist ein Spezialfall der Gammaverteilung. Ist \(\displaystyle X\sim \chi^2_n\), so gilt
\(\displaystyle X \sim \Gamma\braceNT{\dfrac{n}{2},\dfrac{1}{2}} \).

Beziehung zur Normalverteilung

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Quantile einer Normalverteilung und einer Chi-Quadrat-Verteilung
  • Die Summe \(\displaystyle X_n=Z_1^2 + \ldots + Z_n^2\) von \(\displaystyle n\) unabhängigen quadrierten standardnormalverteilten Zufallsvariablen \(\displaystyle Z_i\sim \mathcal{N}(0,1)\) \(\displaystyle (i=1,\ldots,n)\) genügt einer Chi-Quadrat-Verteilung \(\displaystyle X_n\sim\chi^2_n\) mit \(\displaystyle n\) Freiheitsgraden.
  • Für \(\displaystyle n \geq 30\) ist \(\displaystyle Y = \sqrt{2X} - \sqrt{2n-1}\) näherungsweise standardnormalverteilt.
  • Für \(\displaystyle n>100 \) ist die Zufallsvariable \(\displaystyle X\) näherungsweise normalverteilt mit \(\displaystyle \mathcal{N}\braceNT{ \mu = n, \sigma=\sqrt{2n}}\), wobei \(\displaystyle \mu\) bzw. \(\displaystyle \sigma\) Erwartungswert und Standardabweichung darstellen.

Beziehung zur Exponentialverteilung

Eine Chi-Quadrat-Verteilung \(\displaystyle \chi^2_2\) mit 2 Freiheitsgraden ist eine Exponentialverteilung \(\displaystyle \operatorname{Exp}(1/2)\) mit dem Parameter \(\displaystyle \lambda=1/2\).

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit \(\displaystyle 2n\) Freiheitsgraden ist identisch mit einer Erlang-Verteilung mit \(\displaystyle n\) Freiheitsgraden und \(\displaystyle \lambda=1/2\).

Beziehung zur F-Verteilung

Wenn \(\displaystyle Y_{1m} \, \) und \(\displaystyle Y_{2n} \, \) unabhängige \(\displaystyle \chi^{2} \, \)-verteilte Zufallsvariablen mit den Freiheitsgraden m und n sind, dann ist der Quotient
\(\displaystyle F_{m,n}=\dfrac{Y_{1m}/m}{Y_{2n}/n}\)
eine Zufallsvariable, die der F-Verteilung mit den Freiheitsgraden (m,n) genügt.

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung

Für gerade \(\displaystyle n=2m\) kann man die \(\displaystyle \chi_n^2\)-Verteilung als m-fache Faltung bilden mit Hilfe der gleichmäßig stetige Dichte \(\displaystyle U(0,1)\):
\(\displaystyle \chi_n^2 = -\dfrac 12\ln{\braceNT{\prod\limits_{i=1}^m u_i}}=-\dfrac 12\sum\limits_{i=1}^m \ln(u_i)\),
worin die \(\displaystyle u_{i}\) m unabhängige gleichmäßig stetig verteilten Zufallsvariablen sind.
Für ungerade \(\displaystyle n\) gilt dagegen
\(\displaystyle \chi_n^2 = \chi_{n-1}^2 + \ntxbraceL{\mathcal{N}(0,1)}^{2}\)

Literatur

Hartung, Joachim / Elpelt, Bärbel / Klösener, Karl-Heinz: Statistik, 12. Auflage, Oldenbourg 1999, S. 152 ff., ISBN 3486249843.

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.

Friedrich der Große

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