Exponentialverteilung

Dichte der Exponentialverteilung mit verschiedenen Werten für $\lambda$

• Länge eines Telefongespräches.
• Dauer von Dienstleistungen, Reparaturen, Instandhaltungsmaßnamen
• Zeit zwischen zwei Anrufen
• Lebensdauer von Atomen beim radioaktiven Zerfall
• Lebensdauer von Bauteilen, Maschinen und Geräten, wenn Alterungserscheinungen nicht betrachtet werden müssen. (MTBF)
• Alter von Lebewesen
• als grobes Modell für kleine und mittlere Schäden in Hausrat, Kraftfahrzeug-Haftpflicht, Kasko in der Versicherungsmathematik

Definition

$f_{\lambda}(x)= \begin{cases}\displaystyle \lambda{\rm e}^{-\lambda x} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$

$f_{\mu} (x)= \begin{cases}\displaystyle \dfrac{1}{\mu} e^{-\dfrac{x}{\mu}} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$.

Eigenschaften

Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit verschiedenen Werten für $\lambda$

Median

$\tilde{x} = \dfrac{\ln{2}}{\lambda}$.

Verteilungsfunktion

$F(x)=\begin{cases}\displaystyle \int\limits\limits_{0}^x f_{\lambda}(t)\ {\rm d}t = 1-\mathrm{e}^{-\lambda x}& x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$.

Erwartungswert

$\operatorname{E}(X) = \int\limits\limits_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x} \operatorname{d}x = \dfrac{1}{\lambda}$.

Varianz

$\operatorname{Var}(X) = \int\limits\limits_0^\infty \braceNT{ x-\dfrac{1}{\lambda}}^2\lambda e^{-\lambda x}\operatorname{d}x$$= \lambda\int\limits\limits_0^\infty x^2 e^{-\lambda x}\operatorname{d}x - 2\int\limits\limits_0^\infty x e^{-\lambda x}\operatorname{d}x + \dfrac{1}{\lambda}\int\limits\limits_0^\infty e^{-\lambda x}\operatorname{d}x = \dfrac{1}{\lambda^2}$.

Standardabweichung

$\sigma = \dfrac{1}{\lambda}$.

Variationskoeffizient

$\operatorname{VarK}(X) = 1$.

Schiefe

Charakteristische Funktion

$\phi_{X}(s) = \dfrac{\lambda}{\lambda-\operatorname{i}s}$.

Momenterzeugende Funktion

$m_{X}(s) = \dfrac{\lambda}{\lambda-s}$.

Überlebenswahrscheinlichkeit

$P(X>x) = 1-F(x) = e^{-\lambda x}$.

$P(X>x_{0}+x|X>x_{0}) = \dfrac{e^{-\lambda (x_{0}+x)}}{e^{-\lambda x_{0}}} = e^{-\lambda x}$.

$r(x) = \dfrac{f(x)}{1-F(x)} = \dfrac{\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda x}} = \lambda$.

Gedächtnislosigkeit

$P(X \ge x + t \, | \, X \ge x) = P(X \ge t)$

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung

Beziehung zur geometrischen Verteilung

Beziehung zur Gammaverteilung

• Die Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, d.h. die Wartezeit bis zum Eintreffen des $n$-ten seltenen Poisson-verteilten Ereignisses wird mit der Gamma-Verteilung beschrieben. Die Exponentialverteilung mit Parameter $\lambda$ ist also identisch mit der Gamma-Verteilung mit Parametern $1$ und $\lambda$. Die Exponentialverteilung besitzt demnach auch alle Eigenschaften der Gammaverteilung. Insbesondere ist die Summe von $n$ unabhängigen, $\operatorname{Exp}(\lambda)$-verteilten Zufallsvariablen Gamma- oder Erlangverteilt mit Parametern $n$ und $\lambda$.
• Die Exponentialverteilung ergibt sich aus der Gamma-Verteilung für $p=1$.
• Die Faltung von Exponential-Verteilungen mit demselben $\lambda$ ergibt eine Gamma-Verteilung.

Beziehung zur Pareto-Verteilung

Beziehung zur Poisson-Verteilung

$P_\lambda(0)= \dfrac{(\lambda t)^0 \cdot e^{-\lambda t}}{0!}=e^{-\lambda t}$

Beziehung zur Erlang-Verteilung

• Für einen Poisson-Prozess wird die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem definierten Zeitpunkt mittels Poisson-Verteilung bestimmt, die zufällige Zeit bis zum $n$-ten Ereignis ist Erlang-verteilt. Im Fall $n=1$ geht diese Erlang Verteilung in eine Exponentialverteilung über $\operatorname{Erl}(\lambda,1)=\operatorname{Exp}(\lambda)$, mit der die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen bestimmt werden kann.
• Die Summe von $n$ unabhängigen $\operatorname{Exp}(\lambda)$ exponentialverteilten Zufallsgrößen genügt der Erlang-Verteilung $n$-ter der Ordnung $\operatorname{Erl}(\lambda,n)$.

Beziehung zur Weibull-Verteilung

• Mit $\beta=1$ geht die Weibull-Verteilung in die Exponentialverteilung über. Mit anderen Worten: Die Exponentialverteilung behandelt Probleme mit konstanter Ausfallrate $\lambda$. Untersucht man jedoch Fragestellungen mit steigender $\alpha>1$ oder fallender $\alpha<1$ Ausfallrate, dann geht man von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung über.
• Wenn $X$ exponential-verteilt ist, dann ist $X^\alpha$ Weibull-verteilt.

Beziehungen zur $\chi$²-Verteilung

Anwendungsbeispiel

$1-\mathrm{e}^{-0,005 \cdot 20} = 0,0952$

$1-(1-\mathrm{e}^{-0,005 \cdot 180}) = 1-0,5934 = 0,4066$

Zufallszahlen

Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.

Jakob I. Bernoulli

Wahrscheinlichkeitstheorie

• Zufallsvariablen
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  • Gleichverteilung
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