Exponentialverteilung

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Dichte der Exponentialverteilung mit verschiedenen Werten für \(\displaystyle \lambda\)
Die Exponentialverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie wird vorrangig bei der Beantwortung der Frage nach der Dauer von zufälligen Zeitintervallen benutzt, wie z.B.
  • Länge eines Telefongespräches.
  • Dauer von Dienstleistungen, Reparaturen, Instandhaltungsmaßnamen
  • Zeit zwischen zwei Anrufen
  • Lebensdauer von Atomen beim radioaktiven Zerfall
  • Lebensdauer von Bauteilen, Maschinen und Geräten, wenn Alterungserscheinungen nicht betrachtet werden müssen. (MTBF)
  • Alter von Lebewesen
  • als grobes Modell für kleine und mittlere Schäden in Hausrat, Kraftfahrzeug-Haftpflicht, Kasko in der Versicherungsmathematik
 
 

Definition

Eine stetige Zufallsvariable \(\displaystyle X\) genügt der Exponentialverteilung \(\displaystyle \operatorname{Exp}(\lambda)\) mit dem Parameter \(\displaystyle \lambda\), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
\(\displaystyle f_{\lambda}(x)= \begin{cases}\displaystyle \lambda{\rm e}^{-\lambda x} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}\)
besitzt.
Die Exponentialverteilung hat einen reellen Parameter \(\displaystyle \lambda\). Er besitzt den Charakter einer Ausfallrate und \(\displaystyle 1/\lambda\) den einer Lebensdauer. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird \(\displaystyle \lambda>0\) gefordert.
Eine (vor allem im angelsächsischen Raum übliche) alternative Parametrisierung führt zur Wahrscheinlichkeitsdichte
\(\displaystyle f_{\mu} (x)= \begin{cases}\displaystyle \dfrac{1}{\mu} e^{-\dfrac{x}{\mu}} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}\).
Die Beziehung zur obigen Parametrisierung ist dabei einfach \(\displaystyle \mu=1/\lambda \). Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, den Erwartungswert explizit anzugeben, also von einer Exponentialverteilung mit Erwartungswert \(\displaystyle 1/\lambda\) zu sprechen.

Eigenschaften

Den maximalen Wert nimmt die Dichtefunktion der Exponentialverteilung bei \(\displaystyle x_{max} = 0\) ein, er beträgt dort \(\displaystyle f_{max} = \lambda\).
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Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit verschiedenen Werten für \(\displaystyle \lambda\)

Median

Die Exponentialverteilung besitzt ihren Median bei
\(\displaystyle \tilde{x} = \dfrac{\ln{2}}{\lambda}\).

Verteilungsfunktion

Die kumulierte Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung ist
\(\displaystyle F(x)=\begin{cases}\displaystyle \int\limits\limits_{0}^x f_{\lambda}(t)\ {\rm d}t = 1-\mathrm{e}^{-\lambda x}& x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}\).

Erwartungswert

Die Exponentialverteilung besitzt den Erwartungswert \(\displaystyle \dfrac{1}{\lambda}\), denn
\(\displaystyle \operatorname{E}(X) = \int\limits\limits_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x} \operatorname{d}x = \dfrac{1}{\lambda}\).

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog zu \(\displaystyle \dfrac{1}{\lambda^2}\) mittels
\(\displaystyle \operatorname{Var}(X) = \int\limits\limits_0^\infty \braceNT{ x-\dfrac{1}{\lambda}}^2\lambda e^{-\lambda x}\operatorname{d}x \)\(\displaystyle = \lambda\int\limits\limits_0^\infty x^2 e^{-\lambda x}\operatorname{d}x - 2\int\limits\limits_0^\infty x e^{-\lambda x}\operatorname{d}x + \dfrac{1}{\lambda}\int\limits\limits_0^\infty e^{-\lambda x}\operatorname{d}x = \dfrac{1}{\lambda^2}\).

Standardabweichung

Für die Standardabweichung ergibt sich
\(\displaystyle \sigma = \dfrac{1}{\lambda}\).

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten
\(\displaystyle \operatorname{VarK}(X) = 1\).

Schiefe

Die Schiefe besitzt unabhängig vom Parameter \(\displaystyle \lambda\) immer den Wert 2.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form
\(\displaystyle \phi_{X}(s) = \dfrac{\lambda}{\lambda-\operatorname{i}s}\).

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Exponentialverteilung ist
\(\displaystyle m_{X}(s) = \dfrac{\lambda}{\lambda-s}\).

Überlebenswahrscheinlichkeit

Da die Exponentialverteilung auch als Lebensdauerverteilung verwendet wird, ist es möglich, damit zusammenhängende Größen wie Überlebenswahrscheinlichkeit, die Restlebensdauer und die Ausfallrate mit Hilfe der Verteilungsfunktion anzugeben. So nennt man Komplement der Verteilungsfunktion die Überlebenswahrscheinlichkeit
\(\displaystyle P(X>x) = 1-F(x) = e^{-\lambda x}\).
Damit ergibt sich unmittelbar die auf einen Zeitpunkt \(\displaystyle x_{0}\) bezogene bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit
\(\displaystyle P(X>x_{0}+x|X>x_{0}) = \dfrac{e^{-\lambda (x_{0}+x)}}{e^{-\lambda x_{0}}} = e^{-\lambda x}\).
Die Exponentialverteilung ist also eine gedächtnislose Lebensdauerverteilung, d.h. die Überlebenswahrscheinlichkeit in Bezug auf einen bestimmten Zeitpunkt ist unabhängig vom bisher erreichten Alter. Im Gegensatz zur Weibull-Verteilung kann die Exponentialverteilung also für sogenannte ermüdungsfreie Systeme verwendet werden
Die Ausfallrate \(\displaystyle r(x)\) ergibt sich zu
\(\displaystyle r(x) = \dfrac{f(x)}{1-F(x)} = \dfrac{\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda x}} = \lambda\).
Sie ist für die Exponentialverteilung zeitlich und räumlich konstant.

Gedächtnislosigkeit

Die Exponentialverteilung ist im folgenden Sinne "gedächtnislos":
\(\displaystyle P(X \ge x + t \, | \, X \ge x) = P(X \ge t)\)
Das bedeutet: Ist bekannt, dass eine exponentialverteilte Zufallsvariable \(\displaystyle X\) den Wert \(\displaystyle x\) überschreitet, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie \(\displaystyle x\) um mindestens \(\displaystyle t\) überschreitet genau so groß wie die, dass eine exponentialverteilte Zufallsvariable (mit gleichem Parameter \(\displaystyle \lambda\)) den Wert \(\displaystyle t\) überschreitet. Diese Verhalten wird auch Markov-Eigenschaft genannt.
Die Gedächtnislosigkeit ist sogar eine definierende Eigenschaft der Exponentialverteilung; diese ist die einzig mögliche stetige Verteilung mit dieser Eigenschaft. Dies folgt direkt mit der Definition der bedingten Erwartung und der Cauchy-Funktionalgleichung. Das diskrete Pendant hierzu ist die geometrische Verteilung als einzig mögliche diskrete gedächtnislose Verteilung.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung

Wenn \(\displaystyle X\) eine gleichverteilte stetige Zufallsvariable ist, dann genügt \(\displaystyle Y=-\dfrac{1}{\lambda}\ln(X)\) der Exponentialverteilung mit dem Parameter \(\displaystyle \lambda\).

Beziehung zur geometrischen Verteilung

In Analogie zur diskreten geometrischen Verteilung bestimmt die stetige Exponentialverteilung die Wartezeit bis zum ersten Eintreffen eines seltenen Poisson-verteilten Ereignisses, die geometrische Verteilung kann also als diskretes Äquivalent zur Exponentialverteilung betrachtet werden.

Beziehung zur Gammaverteilung

  • Die Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, d.h. die Wartezeit bis zum Eintreffen des \(\displaystyle n\)-ten seltenen Poisson-verteilten Ereignisses wird mit der Gamma-Verteilung beschrieben. Die Exponentialverteilung mit Parameter \(\displaystyle \lambda\) ist also identisch mit der Gamma-Verteilung mit Parametern \(\displaystyle 1\) und \(\displaystyle \lambda\). Die Exponentialverteilung besitzt demnach auch alle Eigenschaften der Gammaverteilung. Insbesondere ist die Summe von \(\displaystyle n\) unabhängigen, \(\displaystyle \operatorname{Exp}(\lambda)\)-verteilten Zufallsvariablen Gamma- oder Erlangverteilt mit Parametern \(\displaystyle n\) und \(\displaystyle \lambda\).
  • Die Exponentialverteilung ergibt sich aus der Gamma-Verteilung für \(\displaystyle p=1\).
  • Die Faltung von Exponential-Verteilungen mit demselben \(\displaystyle \lambda\) ergibt eine Gamma-Verteilung.

Beziehung zur Pareto-Verteilung

Wenn \(\displaystyle X\) Pareto-verteilt \(\displaystyle \operatorname{Par}(\alpha,1)\) mit Parametern \(\displaystyle \alpha\) und \(\displaystyle 1\) ist,dann ist \(\displaystyle \log{X}\) exponentialverteilt \(\displaystyle \operatorname{Exp}(\alpha)\) mit dem Parameter \(\displaystyle \alpha\).

Beziehung zur Poisson-Verteilung

Die Zeitdifferenzen zwischen dem Eintreten seltener Ereignisse können häufig mit der Exponentialverteilung beschrieben werden. Insbesondere gilt, daß der zeitliche Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden \(\displaystyle \operatorname{Poi}(\lambda,n)\) Poisson-verteilten Ereignissen \(\displaystyle \operatorname{Exp}(1/\lambda)\) exponentialverteilt mit dem Parameter \(\displaystyle 1/\lambda\) ist.
Herleitung: Zum Zeitpunkt \(\displaystyle t_0=0\) trete ein Ereignis auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit \(\displaystyle P_{\lambda}(t)\) für das Auftreten eines weiteren Ereignisses nach der Zeit \(\displaystyle t\) innerhalb der Zeitspanne \(\displaystyle \operatorname{d}t\)?
Die Zufallsvariable, die abhängig von der Zeitachse die Anzahl der bisher eingetretenen Ereignisse aufsummiert, ist Poisson-verteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass bis zum Zeitpunkt \(\displaystyle t_1\) (also im konkreten Zeitintervall \(\displaystyle [0,t_1]\)) kein Ereignis auftritt, beträgt somit
\(\displaystyle P_\lambda(0)= \dfrac{(\lambda t)^0 \cdot e^{-\lambda t}}{0!}=e^{-\lambda t} \)
Die durchschnittliche Anzahl von Kunden im Intervall \(\displaystyle [0,t]\) beträgt \(\displaystyle \lambda \operatorname{d}t\). Das Produkt beider Teile ist die gesuchte Exponentialverteilung w(t):
\(\displaystyle P_\lambda(t) \operatorname{d}t = \lambda e^{-\lambda t} \operatorname{d}t\)
Ein Beispiel ist unter Verteilung von Zufallszahlen aufgeführt.

Beziehung zur Erlang-Verteilung

  • Für einen Poisson-Prozess wird die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem definierten Zeitpunkt mittels Poisson-Verteilung bestimmt, die zufällige Zeit bis zum \(\displaystyle n\)-ten Ereignis ist Erlang-verteilt. Im Fall \(\displaystyle n=1\) geht diese Erlang Verteilung in eine Exponentialverteilung über \(\displaystyle \operatorname{Erl}(\lambda,1)=\operatorname{Exp}(\lambda)\), mit der die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen bestimmt werden kann.
  • Die Summe von \(\displaystyle n\) unabhängigen \(\displaystyle \operatorname{Exp}(\lambda)\) exponentialverteilten Zufallsgrößen genügt der Erlang-Verteilung \(\displaystyle n\)-ter der Ordnung \(\displaystyle \operatorname{Erl}(\lambda,n)\).

Beziehung zur Weibull-Verteilung

  • Mit \(\displaystyle \beta=1\) geht die Weibull-Verteilung in die Exponentialverteilung über. Mit anderen Worten: Die Exponentialverteilung behandelt Probleme mit konstanter Ausfallrate \(\displaystyle \lambda\). Untersucht man jedoch Fragestellungen mit steigender \(\displaystyle \alpha>1\) oder fallender \(\displaystyle \alpha<1\) Ausfallrate, dann geht man von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung über.
  • Wenn \(\displaystyle X\) exponential-verteilt ist, dann ist \(\displaystyle X^\alpha\) Weibull-verteilt.

Beziehungen zur \(\displaystyle \chi\)²-Verteilung

Die \(\displaystyle \chi\)²-Verteilung geht für \(\displaystyle n=2\) in die Exponentialverteilung mit dem Parameter \(\displaystyle \lambda=\dfrac{1}{2}\) über.

Anwendungsbeispiel

Die Exponentialverteilung ist eine typische Lebensdauerverteilung. So ist beispielsweise die Lebensdauer von elektronischen Bauelementen häufig annähernd exponentialverteilt. Hierbei spielt besonders die Gedächtnislosigkeit eine bedeutende Rolle: die Wahrscheinlichkeit, dass ein x Tage altes Bauelement noch mindestens t Tage hält, ist demnach genauso groß wie die, dass ein neues Bauelement überhaupt t Tage hält. Charakteristisch bei der Exponentialverteilung ist die konstante Ausfallrate \(\displaystyle \lambda\).
Dies ist zum Beispiel bei Glühlampen nur annähernd richtig, da diese nur beim Einschalten stark beansprucht werden. Auf Lebewesen darf ebenfalls keine Exponentialverteilung angewendet werden, sonst wäre zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass ein Achtzigjähriger noch weitere Fünfzig Jahre lebt, genauso hoch wie die, dass ein Neugeborener das fünfzigste Lebensjahr erreicht.
Beispiel: In einer Elektronikfirma werden Funkwecker produziert. Im Rahmen der Qualitätssicherung wird anhand von Reklamationen die Funktionsdauer der Wecker untersucht. Es ist definiert X: Zeitdauer der Funktionsfähigkeit eines Funkweckers (in Tagen).
X ist exponentialverteilt mit dem konstanten Parameter \(\displaystyle \lambda\)=0,005. In diesem Zusammenhang wird \(\displaystyle \lambda\) als Ausfallrate bezeichnet; es fallen also durchschnittlich pro Tag 5 Promille der Wecker aus. Entsprechend ist 1/\(\displaystyle \lambda\) die durchschnittliche Zeitdauer, bis ein Wecker ausfällt. Ein Wecker fällt also im Mittel 200 Tage nach Inbetriebnahme aus.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wecker höchstens 20 Tage hält, ist
\(\displaystyle 1-\mathrm{e}^{-0,005 \cdot 20} = 0,0952\)
d.h. nach 20 Tagen sind durchschnittlich ca. 10 % der Wecker ausgefallen.
Entsprechend ist der Anteil der Wecker, die mindestens 180 Tage aushalten,
\(\displaystyle 1-(1-\mathrm{e}^{-0,005 \cdot 180}) = 1-0,5934 = 0,4066\)
also halten durchschnittlich ca. 40% der Wecker länger als 180 Tage.
Obwohl bei einer exponentialverteilten Lebensdauerverteilung am Anfang absolut betrachtet mehr Geräte ausfallen, ist die Ausfallrate konstant: in jedem Zeitintervall fallen relativ betrachtet immer gleich viele Geräte aus. Dieser Umstand darf nicht mit den Frühausfällen der Badewannenkurve verwechselt werden. Hier ist zu Beginn die Ausfallrate \(\displaystyle \lambda\) höher und nicht konstant über die Lebensdauer. Zur Beschreibung der Badewannenkurve ist eine andere Lebensdauerverteilung (Weibull-Verteilung) notwendig.

Zufallszahlen

Zur Erzeugung exponentialverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an.
Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion \(\displaystyle F(x) = ( 1 - e^{- \lambda x} )\) lautet hierbei \(\displaystyle F^{-1}(y) = - \over{1 }{ \lambda} \ln ( 1 - y )\). Zu einer Folge von Standardzufallszahlen \(\displaystyle u_i\) lässt sich daher eine Folge \(\displaystyle x_i := - \over{ 1 }{ \lambda } \ln ( 1 - u_i )\) exponentialverteilter Zufallszahlen berechnen. Einfacher kann stattdessen auch \(\displaystyle x_i := - \over{ 1 }{ \lambda } \ln ( u_i )\) gerechnet werden.

Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.

Paul Erdös

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