Standardabweichung - Formel und Definition

Definition

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Werte einer Zufallsvariablen um ihren Mittelwert. Sie ist für eine Zufallsvariable XX definiert als die positive Quadratwurzel aus deren Varianz und wird als σx=Var⁡(X)\sigma_x = \sqrt{\operatorname{Var}(X)} notiert.

Formel

Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen XX ist mathematisch definiert als die Quadratwurzel einer anderen Streuungsmaßzahl, der Varianz:
σX:=E((X−E(X))2) \sigma_X := \sqrt{E\braceNT{(X-E\braceNT{X})^2}} =E⁡(X2)−(E⁡(X))2=\sqrt{\operatorname{E}(X^2)-\braceNT{\operatorname{E}(X)}^2},
dabei bezeichnet E(A)E(A) den Erwartungswert der Zufallsgröße AA.
Die Standardabweichung hat gegenüber der Varianz den Vorteil, dass sie die gleiche Einheit hat wie die ursprünglichen Messwerte.

Beispiel (mit Schwankungsbreite)

Mittleres Alter (beispielsweise in einer Tanzschule) = (17,5 ± 1,2) Jahre. Beide Werte zusammen ergeben die mittlere Schwankungsbreite, MW ± s = 16,3 bis 18,7 Jahre. Sie gilt im Falle normalverteilter Mengen (siehe Glockenkurve) mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 68 % (jene von 2σ2\sigma mit ca. 95 %). Demnach lässt obige Schwankungsbreite erwarten, dass
  • 16 % der Tanzschüler jünger als 16,3 Jahre sind (und 2 - 3 % unter 15,1 Jahre) und
  • 16 % älter als 18,7 Jahre (und 2 - 3 % über 19,9 Jahre) sind.
Dieses Beispiel hat jedoch kaum Normalverteilung, denn es sind vermutlich von den Kursteilnehmern mehr als 2,5 % älter als 20 Jahre.
  • Faustregeln für die Praxis sind: Werte außerhalb der zwei- bis dreifachen Standardabweichung werden oft als Ausreißer behandelt. Ausreißer können ein Hinweis auf grobe Fehler der Datenerfassung sein. Es kann den Daten aber auch eine stark schiefe Verteilung zu Grunde liegen. Andererseits muss ca. jeder 20ste Messwert außerhalb der zweifachen Standardabweichung liegen.

Schätzung der Standardabweichung aus einer Stichprobe

Sind die xix_i unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen, also beispielsweise eine Stichprobe, so wird die Standardabweichung der Grundgesamtheit häufig mit der Formel
sX:=1N−1∑i=1N(xi−xˉ)2 s_X := \sqrt{\dfrac{1}{N-1} \sum\limits_{i=1}^N{(x_i-\bar{x})^2}}
geschätzt.
Dabei ist
  • sXs_X der Schätzer für die Standardabweichung σX\sigma_X der Grundgesamtheit
  • NN der Stichprobenumfang (Anzahl der Werte bzw. Anzahl der Freiheitsgrade)
  • xix_i die Merkmalsausprägungen am ii-ten Element der Stichprobe
  • xˉ=1N∑i=1Nxi\bar{x}= \dfrac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N{x_i} der empirische Mittelwert, also das arithmetische Mittel der Stichprobe.
Diese Formel erklärt sich daraus, dass die Stichprobenvarianz
sX2:=1N−1∑i=1N(xi−xˉ)2s_X^2 := \dfrac{1}{N-1} \sum\limits_{i=1}^N{(x_i-\bar{x})^2}
ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz σX2\sigma_X^2 der Grundgesamtheit ist. sXs_X ist aber kein erwartungstreuer Schätzer für die Standardabweichung, denn da die Quadratwurzel eine konkave Funktion ist folgt aus der Jensenschen Ungleichung
EsX=EsX2≤E(sx2)=σXEs_X = E\sqrt {s^2_X} \leq \sqrt{E\braceNT{s^2_x}} = \sigma_X,
dieser Schätzer unterschätzt also die Standardabweichung der Grundgesamtheit.
Für den Fall normalverteilter Zufallsgrößen lässt sich allerdings ein erwartungstreuer Schätzer angeben.
σ^=n−12 Γ(n−12)Γ(n2) sX \hat{\sigma} = \sqrt{\dfrac{n-1}{2}} \ \dfrac{\Gamma\braceNT{\dfrac{n-1}{2}}} {\Gamma\braceNT{\dfrac{n}{2}}} \ s_X
Dabei ist
  • σ^\hat{\sigma} die erwartungstreue Schätzung der Standardabweichung und
  • Γ(x)\Gamma(x) die Gammafunktion.

Beispiel

Es wurden bei einer Stichprobe die fünf Werte 3, 4, 5, 6, 7 gemessen. Man soll nun die Schätzung für die Standardabweichung errechnen.
Der Korrekturfaktor ist in diesem Fall
2 Γ(2)Γ(2,5)≈1,063846 \sqrt{2} \ \dfrac{\Gamma\braceNT{2}}{\Gamma\braceNT{2{,}5}} \approx 1{,}063846
und die erwartungstreue Schätzung für die Standardabweichung ist damit näherungsweise 1,064.

Korrekturfaktoren für die erwartungstreue Schätzung der Standardabweichung

Stichprobenumfang Korrekturfaktor
2 1,253314
5 1,063846
10 1,028109
15 1,018002

Faustformel

Zur schnellen Schätzung von σ\sigma sucht man jenes Sechstel der Werte, die am kleinsten beziehungsweise am größten sind. Die Standardabweichung ist dann die halbe Differenz der beiden Grenzwerte.
 
 

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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