Gesetz der großen Zahlen

Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses immer weiter an die theoretische Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis annähert, je häufiger das Zufallsexperiment durchgeführt wird.

Beispiel: Wurf einer Münze

Anzahl Würfe davon Kopf Verhältnis absoluter Abstand relativer Abstand
theoretisch beobachtet theoretisch beobachtet
100 50 48 0.500 0.480 2 0.02
1000 500 491 0.500 0.491 9 0.009
10000 5000 4970 0.500 0.497 30 0.003
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze beim Werfen Kopf zeigt, betrage ½. Je häufiger die Münze geworfen wird, desto näher wird der Anteil der Würfe, bei denen Kopf erscheint, beim theoretischen Wert ½ liegen. Trotzdem wird der absolute Abstand anwachsen.
Das Gesetz der großen Zahlen bedeutet also nicht, dass ein Ereignis, welches bislang nicht so häufig eintrat wie erwartet, seinen "Rückstand" irgendwann ausgleichen und folglich in Zukunft häufiger eintreten muss. Dies ist ein bei Roulette- und Lottospielern häufig verbreiteter Irrtum, die "säumige" Zahlenart müsse nun aber aufholen, um wieder der statistischen Gleichverteilung zu entsprechen.
 
 

Praktische Bedeutung

  • Versicherungen: Das Gesetz der großen Zahl hat bei Versicherungen eine große praktische Bedeutung. Es erlaubt eine ungefähre Vorhersage über den künftigen Schadensverlauf. Je größer die Zahl der versicherten Personen, Güter und Sachwerte, die von der gleichen Gefahr bedroht sind, desto geringer ist der Einfluss des Zufalls.
Das Gesetz der großen Zahl kann aber nichts darüber aussagen, wer im einzelnen von einem Schaden getroffen wird. Unvorhersehbare Großereignisse und Trends wie der Klimawandel, die die Berechnungsbasis von Durchschnittswerten verändern, können das Gesetz zumindest teilweise unbrauchbar machen.
  • Medizin: Beim Wirksamkeitsnachweis von medizinischen Verfahren kann man es ausnutzen, um Zufallseinflüsse auszuschalten.
  • Naturwissenschaften: Der Einfluss von Messfehlern kann durch häufige Versuchwiederholungen reduziert werden.
Siehe auch Gesetz der kleinen Zahlen

Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Als schwaches Gesetz der großen Zahlen wird die folgende Konvergenzaussage für eine (unendliche) Folge von Zufallsvariablen \(\displaystyle X_1, X_2, X_3, \dots\), die alle denselben Erwartungswert \(\displaystyle \mu\) besitzen, bezeichnet:
Das arithmetische Mittel von \(\displaystyle n\) Zufallsvariablen
\(\displaystyle \overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n\)
konvergiert stochastisch gegen \(\displaystyle \mu\). Formal bedeutet dies: Für jede positive Zahl \(\displaystyle \varepsilon\) (beliebig klein) gilt
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{P}\braceNT{\ntxbraceI{\overline{X}_n-\mu}<\varepsilon}=1\, \)
Ein schwaches Gesetz der großen Zahl gilt beispielsweise, wenn die Zufallsvariablen \(\displaystyle X_1, X_2, X_3, \dots\) endliche Varianzen \(\displaystyle \sigma_1^2,\sigma_2^2,\dots\) haben, die zudem durch eine gemeinsame obere Grenze beschränkt sind, sowie unkorreliert sind (d.h., \(\displaystyle \operatorname{Cov}(X_i, X_j) = 0\), falls \(\displaystyle i\neq j\)). Der Beweis folgt in diesem Falle unmittelbar aus der Tschebyschew-Ungleichung.

Starkes Gesetz der großen Zahlen

Als starkes Gesetz der großen Zahlen wird die folgende Konvergenzaussage für eine unendliche Folge von Zufallsvariablen \(\displaystyle X_1, X_2, X_3, \dots\) mit Erwartungswert \(\displaystyle \mu\) bezeichnet:
\(\displaystyle \operatorname{P}\braceNT{\lim_{n\rightarrow\infty}\overline{X}_n=\mu}=1\),
d. h., die repräsentative Stichprobe konvergiert fast sicher gegen \(\displaystyle \mu\). Das starke Gesetz der großen Zahlen impliziert das schwache Gesetz der großen Zahlen.
Ein starkes Gesetz der großen Zahlen gilt beispielsweise, wenn die Folge unabhängig ist und die Zufallsvariablen beschränkte Varianzen besitzen. Eine Form des starken Gesetzes der großen Zahlen für abhängige Zufallsvariablen ist der Ergodensatz.
Die Geschichte des starken Gesetzes der großen Zahlen ist lang. Sie hat mit dem Satz von N. Etemadi (Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete (jetzt: Probability Theory and Related Fields), Band 55(1), S. 119-122, (1981)) einen gewissen Abschluss gefunden. Der Satz von Etemadi zeigt die Gültigkeit des starkes Gesetzes der großen Zahlen unter der Annahme, dass die Zufallsvariablen jeweils dieselbe Verteilung haben und je zwei Zufallsvariablen unabhängig sind. Die Existenz einer Varianz wird nicht vorausgesetzt.

Literatur

  • H.-O. Georgii: Stochastik, 2. Auflage, de Gruyter, 2004.
  • R. Durrett: Probability: Theory and Examples, 3rd ed., Duxbury, 2004.

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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