Momente von Verteilungsfuntionen

Momente sind Kenngrößen einer Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen. Sie entsprechen den Parametern der deskriptiven Statistik. Die Begriffe Erwartungswert, Varianz, Schiefe und Wölbung zur Beschreibung einer Funktion ergeben sich aus den sogenannten zentralen Momenten (siehe dort). Eine Verteilungsfunktion ist durch Angabe aller ihrer Momente bestimmt, falls diese existieren. Es gibt auch Verteilungen, deren Momente nicht existieren, wie z. B. die Lévy-Verteilung. Man unterscheidet gewöhnliche Momente, absolute, zentrale und das Moment um c.
Beispiel: Eine Normalverteilung ist beispielsweise durch ihren Erwartungswert und ihr zweites Moment festgelegt, da alle ungeradzahligen Momente verschwinden und die höheren geradzahligen Momente im direkten Zusammenhang zum zweiten Moment stehen.
 
 

Definition - Gewöhnliche Momente

Es seien XX Zufallsgröße, kk eine natürliche und rr eine reelle Zahl. Dann bezeichnet man als gewöhnliches Moment der Ordnung kk bezüglich rr (oder einfach als kk-tes gewöhnliches Moment) den Erwartungswert der kk-ten Potenz der auf rr "zentrierten" abgeleiteten Zufallsgröße:
mk(r)=E⁡((X−r)k) m_k(r)=\operatorname{E}\braceNT{\braceNT{X - r}^k}

Stetige Zufallsvariable

Bei einer stetigen reelle Zufallsgröße mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion fXf_X ergibt sich damit:
mk(r):=∫−∞∞(x−r)kfX(x) dx m_k(r) := \int\limits_{-\infty}^{\infty} \braceNT{x - r}^{k} f_X(x) \, \mathrm{d} x

Diskrete Zufallsvariable

Bei einer diskreten reellen Zufallsvariable mit den Wahrscheinlichkeiten pip_i ergibt sich damit:
mk(r)=∑i=1∞(xi−r)kpim_k(r)=\sum\limits_{i=1}^\infty (x_i-r)^k p_i

gewöhnliche Momente (k-ter Ordnung)

m1=E⁡(x)m_1 = \operatorname{E}(x)
m2=E⁡(x2)=Var⁡(x)+(E⁡(x))2m_2 = \operatorname{E}(x^2) = \operatorname{Var}(x)+(\operatorname{E}(x))^2

Absolute Momente

Mk(r)=E⁡(∣(X−r)∣k) M_k(r)=\operatorname{E}(|(X - r)|^k)
bezeichnet man als k-tes absolutes Moment von xx in Bezug auf rr.

Zentrale Momente

Die zentralen Momente setzen für rr den Erwartungswert E⁡(X)\operatorname{E}(X) selbst ein.
μk:=E⁡((X−m1)k)\mu_k:=\operatorname{E}((X-m_1)^k)
Das zentrale Moment erster Ordnung ist gleich 0.
μ1=0\mu_1=0
Das zentrale Moment zweiter Ordnung entspricht der Varianz.
μ2(μ)=E⁡((X−m1)2)\mu_2(\mu)=\operatorname{E}((X - m_1)^2)
Das zentrale Moment dritter Ordnung entspricht mit γ∗σ3\gamma*\sigma^3 der Schiefe.
Das zentrale Moment vierter Ordnung entspricht der Wölbung oder Kurtosis. Schiefe und Wölbung werden oft als Maß der Abweichung von der Normalverteilung benutzt.

Moment und die charakteristische Funktion

Durch mehrfaches Ableiten der Formel für die charakteristische Funktion erhält man eine Darstellung der gewöhnlichen Momente durch die charakteristische Funktion als:
E⁡(Xk)=φX(k)(0)ik(k=1,2,… )\operatorname{E}(X^{k}) = \dfrac{\varphi_{X}^{(k)}(0)}{i^{k}} \quad (k=1,2,\dots)

Moment um eine Konstante (c)

  • das Moment um cc (c : Konstante, k-ter Ordnung): E⁡(x−c)k\operatorname{E}(x-c)^k

Momente um Null

Wird r=0r=0 angenommen, so spricht man von Momenten um Null, oder bezeichnet
mk=mk(0)=E⁡((X−0)k)=E⁡(Xk) m_k=m_k(0)=\operatorname{E}((X-0)^k) = \operatorname{E}(X^k)
schlichtweg als das k-te Moment. Das k-te Moment kann mit der momenterzeugenden Funktion ermittelt werden.

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Blaise Pascal

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