Erlang-Verteilung

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Dichte der Erlangverteilung
Die Erlang-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wurde von Agner Krarup Erlang für die statistische Modellierung der Intervall-Längen zwischen Telefonanrufen entwickelt.
Die Erlang-Verteilung wird vor allem in der Warteschlangentheorie verwendet, um die Verteilung der Zeitspanne zwischen zwei Ereignissen, beispielsweise der Ankunft von Kunden, zu erfassen, sowie in der Qualitätssicherung zur Beschreibung von Lebensdauern.
 
 

Definition

Die Erlang-Verteilung \(\displaystyle \operatorname{Erl}(\lambda,n)\) mit den Parametern \(\displaystyle \lambda\) (einer reellen Zahl) und \(\displaystyle n\geq 1\) (einer natürlichen Zahl) ist eine spezielle Gammaverteilung, die durch die Dichtefunktion
\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} \dfrac{(\lambda x)^{n-1}}{(n-1)!}\lambda e^{-\lambda x} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}\)
festgelegt wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass \(\displaystyle X \leq x\) ist, ist durch die Verteilungsfunktion
\(\displaystyle F(x)= \begin{cases} \dfrac{\lambda^n}{(n-1)!}\int\limits_0^x t^{n-1}e^{-\lambda t}\mathrm{d}t=\dfrac{\gamma(n, \lambda x)}{(n-1)!}=1-e^{-\lambda x} \sum\limits_{i=0}^{n-1} \dfrac{(\lambda x)^i}{i!} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}\)
gegeben, wobei \(\displaystyle \gamma\) die unvollständige Gammafunktion bezeichnet.

Eigenschaften

Erwartungswert

Die Erlang-Verteilung besitzt den Erwartungswert
\(\displaystyle \operatorname{E}(X)=\int\limits\limits_{0}^{\infty}x\dfrac{\lambda^{n}x^{n-1}}{(n-1)!} \, e^{-\lambda x}\operatorname{d}x =\dfrac{n}{\lambda}\).

Varianz

Analog ergibt sich die Varianz zu
\(\displaystyle \operatorname{Var}(X)=\int\limits\limits_{0}^{\infty}x^{2}\dfrac{\lambda^{n}x^{n-1}}{(n-1)!} \, e^{-\lambda x}\operatorname{d}x - \braceNT{\dfrac{n}{\lambda}}^{2}=\dfrac{n}{\lambda^2}\).

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Exponentialverteilung

  • Die Erlang-Verteilung \(\displaystyle \operatorname{Erl}(\lambda,n)\) ist eine Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, denn sie geht für \(\displaystyle n=1\) in diese über \(\displaystyle \operatorname{Erl}(\lambda,1)=\operatorname{Exp}(\lambda)\) .
  • Es seien \(\displaystyle n\) viele, alle mit dem gleichen Parameter \(\displaystyle \lambda\) exponentialverteilte Zufallsvariablen \(\displaystyle Y_i\ (i = 1, \dots , n)\), die stochastisch unabhängig sind, gegeben. Dann ist die Zufallsvariable \(\displaystyle X = Y_1 + Y_2 + \dots + Y_n\) Erlang-verteilt mit den Parametern \(\displaystyle n\) und \(\displaystyle \lambda (n\in\Bbb N, \lambda \geq 0)\).

Beziehung zur Poisson-Verteilung

  • Für einen Poisson-Prozess wird die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem definierten Zeitpunkt mittels Poisson-Verteilung \(\displaystyle \operatorname{Poi}(\lambda,n)\) bestimmt, die zufällige Zeit bis zum \(\displaystyle n\)-ten Ereignis ist Erlang-verteilt. Im Fall \(\displaystyle n=1\) geht diese Erlang Verteilung in eine Exponentialverteilung über, mit der die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen bestimmt werden kann.
  • Die Erlang-Verteilung ist die zur Poisson-Verteilung konjugierte Verteilung.

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung

Eine Erlang-Verteilung kann als Faltung von n gleichmäßig stetig verteilten Funktionen \(\displaystyle X(0,1)\) erzeugt werden
\(\displaystyle \operatorname{Erl}(\lambda, n) \sim -\dfrac{1}{\lambda}\ln{\braceNT{\prod\limits_{i=1}^{n}x_{i}}}\).

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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