Das Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen

Das Newton-Verfahren kann auch benutzt werden, um Nullstellen von mehrdimensionalen Funktionen f:Rn→Rnf:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n} zu bestimmen. Ein konkreter Anwendungsfall ist die [!Kombination] mit der Gaußschen Fehlerquadratmethode im Gauß-Newton-Verfahren. Für den allgemeinen Fall ist der Ausgangspunkt der Iteration die obige Fixpunktgleichung:
x=Nf(x):=x−(J(x))−1f(x)x=N_f(x):=x-(J(x))^{-1}f(x)
die das Newton-Verfahren inspiriert:
xn+1:=Nf(xn)=xn−(J(xn))−1f(xn)x_{n+1}:=N_f(x_n)=x_{n}-(J(x_{n}))^{-1}f(x_{n}),
wobei J(x)=f′(x)=∂f∂x(x)J(x)=f'(x)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x) die Jacobi-Matrix, also die Matrix der partiellen Ableitungen von f(x) f(x)\,, ist.
J(x):=∂fi∂xj=(∂f1∂x1∂f1∂x2…∂f1∂xn∂f2∂x1∂f2∂x2…∂f2∂xn⋮⋮⋱⋮∂fn∂x1∂fn∂x2…∂fn∂xn) J(x):=\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j} =\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2} & \ldots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2} & \ldots & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_n}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_n}{\partial x_2} & \ldots & \dfrac{\partial f_n}{\partial x_n}\end{pmatrix}
Da das Lösen von
Δx:=−(J(xn))−1f(xn)  ,\Delta x := -(J(x_{n}))^{-1}f(x_{n})\;,
über die Berechnung der Inversen einer Matrix und anschließender Multiplikation mit f(xn)f(x_{n}) aufwändiger und numerisch ungünstiger ist, wird statt dessen das lineare Gleichungssystem
J(xn)  Δxn=−f(xn)J(x_{n})\;\Delta x_n = -f(x_{n})
gelöst.
Danach erhält man xn+1x_{n+1} aus:
xn+1=xn+Δxn   x_{n+1}=x_{n}+\Delta x_{n}\;\,
Statt die Inverse auszurechnen, wird also ein lineares Gleichungssystem gelöst. Dazu hat man die Wahl zwischen verschiedenen Lösungsverfahren (siehe Liste numerischer Verfahren). Ist die Jacobimatrix in der Nullstelle invertierbar und in einer Umgebung der Nullstelle Lipschitz-stetig so konvergiert das Verfahren lokal quadratisch.
 
 

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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