Sekans und Kosekans

Definition am Einheitskreis

$\overline{OT} = \operatorname{sec}(b)$ $\qquad\qquad \overline{OK} = \operatorname{csc}(b)$

$\sec (\alpha) = \dfrac{l_{\rm Hy}}{l_{\rm AK}} = \dfrac{c}{b} \qquad \qquad \csc (\alpha) = \dfrac{l_{\rm Hy}}{l_{\rm GK}} = \dfrac{c}{a}$

$\operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)} \qquad\qquad \csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}$

Eigenschaften

Verlauf

Definitionsbereich

Wertebereich

$-\infty < f(x) \le -1 \quad ; \quad 1 \le f(x) < +\infty$

Periodizität

Periodenlänge $2 \cdot \pi \, : \, f(x+2\pi) = f(x)$

Monotonie

streng monoton fallende und streng monoton steigende Abschnitte.

Symmetrien

Polstellen

Extremwerte

Umkehrfunktionen

Auf einer halben Periodenlänge, z.B. $x \in [0 , \pi]$ ist die Funktion umkehrbar (Arkussekans):

$x = \operatorname{arcsec}(y)$

Auf einer halben Periodenlänge, z.B. $x \in \ntxbraceL{-\dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} }$ ist die Funktion umkehrbar (Arkuskosekans):

$x = \operatorname{arccsc}(y)$

Reihenentwicklung

$\sec(x) = \pi \, \sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^k(8k+4)} {(2k+1)^2 \pi^2 - 4 x^2 }$

$\csc(x) = \dfrac{1}{x} - 2x \, \sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^k} {k^2\pi^2-x^2}$

Ableitung

$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{sec}(x) = \operatorname{sec}(x) \cdot \tan(x) = \dfrac{\operatorname{sec}^2(x)}{\operatorname{csc}(x)}$

$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{csc}(x) = - \operatorname{csc}(x) \cdot \cot(x) = \dfrac{\operatorname{csc}^2(x)}{\operatorname{sec}(x)}$

Integral

$\int\limits\operatorname{sec}(x)\operatorname{dx}=\ln\braceNT{\dfrac{1+\sin(x)}{\cos(x)}}$

$\int\limits\operatorname{csc}(x)\operatorname{dx}=\ln\braceNT{\dfrac{\sin(x)}{1+\cos(x)}}$

Die Furcht vor der Mathematik steht der Angst erheblich näher als der Ehrfurcht.

Felix Auerbach

Transzendente Funktionen

• Trigonometrische Funktionen
  • Definition am rechtwinkligen Dreieck
  • Sinus und Kosinus
  • Tangens und Kotangens
  • Sekans und Kosekans
  • Eigenschaften
  • Spezielle Werte
  • Additionstheoreme
  • a sin(bx+c)
• Arkusfunktionen
• Exponentialfunktionen
• Logarithmusfunktionen
• Hyperbolische Funktionen
• Areafunktionen