Eigenschaften trigonometrischer Funktionen

Allgemeine Eigenschaften

Für die Tabelle gilt k∈Zk\in\dom Z.
sin⁡x\sin x cos⁡x\cos x tan⁡x\tan x cot⁡x\cot x
Name Sinus Kosinus Tangens Kotangens
Definitionsbereich x∈Rx\in \dom R x∈Rx\in \dom R x∈Rx\in \dom R, x≠π2+kπx\neq \dfrac \pi 2+k\pi x∈Rx\in \dom R, x≠kπx\neq k\pi
Wertebereich [−1, 1][\uminus 1,\, 1] [−1, 1][\uminus 1,\, 1] R\dom R R\dom R
Nullstellen kπk\pi π2+kπ\dfrac \pi 2+k\pi kπk\pi π2+kπ\dfrac \pi 2+k\pi
Periode 2π2\pi 2π2\pi π\pi π\pi
ungerade gerade ungerade ungerade

Erläuterungen

Durch die Definition am Einheitskreis ist klar, dass sich die Funktionswerte nach einem vollen Umlauf (2π2\pi) wiederholen. Damit gilt für alle k∈Zk\in\dom Z:
sin⁡(x+2kπ)=sin⁡x\sin(x+ 2k\pi)=\sin x
cos⁡(x+2kπ)=cos⁡x\cos(x+ 2k\pi)=\cos x
Damit sind die Funktionen durch ihre Werte im Intervall [0, 2π][0,\, 2\pi] vollständig bestimmt. Alle weiteren Eigenschaften brauchen wir nur für dieses Intervall angeben und können

Grundbeziehungen

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\dfrac {\sin x}{\cos x} cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x=\dfrac {\cos x}{\sin x}
tan⁡x⋅cot⁡x=1\tan x\cdot\cot x=1
 
 

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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