Primzahlzwillinge

Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen, deren Differenz 2 ist, also zum Beispiel: (3 und 5) oder (5 und 7) oder (11 und 13).
Zwei Primzahlen p1p_1 und p2p_2 mit p1<p2p_1<p_2 sind genau dann Primzahlzwillinge, wenn p2−p1=2p_2 - p_1 = 2 ist. Die Primzahl p2=p1+2p_2 = p_1 + 2 wird dabei auch als Primzahlzwilling zur Primzahl p1p_1 bezeichnet.

Eigenschaften

Jede Primzahl p>3p>3 hat nach Bemerkung 1655 die Form 6n−16n-1 oder 6n+16n+1. Wenn nun (pp, p+2p+2) Primzahlzwillinge sind, ist pp auch nicht von der Form 6n+16 n +1. Also gilt: Wenn (pp, qq) Primzahlzwillinge sind, dann ist pp von der Form 6n−16 n -1 und qq von der Form 6n+16 n +1.
Daraus folgt auch, dass p⋅q+1 p \cdot q +1 eine durch 36 teilbare Quadratzahl ist:
(6n−1)⋅(6n+1)+1(6n-1) \cdot (6n+1) + 1 =36n2−1+1= 36n^2 - 1 + 1 =36n2=(6n)2= 36n^2 = (6n)^2.
Mit einer ganzen Zahl nn lässt sich jede ungerade Zahl in der Form 30n+130 n +1, 30n+330 n +3, 30n+530 n +5, 30n+730 n +7, ..., 30n+2530 n +25, 30n+2730 n +27, 30n+2930 n +29 (bzw. letztere besser als 30n−130 n -1) darstellen. Primzahlen (außer 33 und 55) haben aber nie die Form 30n+330 n +3, 30n+530 n +5, 30n+930 n +9, 30n+1530 n +15, 30n+2130 n +21, 30n+2530 n +25 und 30n+2730 n +27, da alle solchen Zahlen durch 22, durch 33 oder durch 55 teilbar sind.
Daher hat jedes Primzahlzwillingspaar (außer (33,55) und (55,77)) genau eine der drei Formen
(30n−1,30n+130 n -1, 30 n +1), (30n+1130 n +11, 30n+1330 n +13), (30n+1730 n +17, 30n+1930 n +19)
(bzw. letzteres alternativ, da symmetrischer, als (30nn-13, 30nn-11)) (mit einer ganzen Zahl nn).
 
 

Sonstiges

Das größte im Mai 2005 bekannte Paar von Primzahlzwillingen ist
3756801695685⋅2666669∓13756801695685 \cdot 2^{666669} \mp 1
das sind Zahlen mit 200.700 Ziffern.

Offene Fragestellung

Je größere Zahlen man betrachtet, desto weniger Primzahlen findet man dort. Obwohl unendlich viele Primzahlen existieren (Satz 5303B), ist es ungewiss, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.
Die Summe der Kehrwerte der Primzahlen ist divergent (Satz 1651), jedoch die Summe der Kehrwerte der Primzahlzwillinge konvergiert. Aus dieser Tatsache kann man allerdings nicht schließen, ob es endlich oder unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.

Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.

Émile Lemoine

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