Spezielle Primzahlen

Primzahlen der Form 4k + 1 bzw. 4k + 3

Jede Primzahl p>2p>2 hat die Form 4k+14k+1 oder 4k+34k+3 mit einer positiven natürlichen Zahl kk. Nach dem dirichletschen Primzahlsatz gibt es unendlich viele Primzahlen jeder der beiden Arten.
Jede natürliche Zahl der Form 4m+34m+3 mit einer natürlichen Zahl mm enthält mindestens einen Primfaktor der Form 4k+34k+3. Eine entsprechende Aussage über Zahlen der Form 4m+14m+1 oder Primfaktoren der Form 4k+14k+1 ist nicht möglich.
Eine Primzahl p>2p>2 lässt sich genau dann in der Form a2+b2a^2+b^2 mit ganzen Zahlen a,ba,b schreiben, wenn pp die Form 4k+14k+1 hat. In diesem Fall ist die Darstellung im wesentlichen eindeutig, d.h. bis auf Reihenfolge und Vorzeichen von a,ba,b. Diese Darstellung entspricht der Primfaktorzerlegung
p=(a+bi)(a−bi)p=(a+b\mathrm i)(a-b\mathrm i)
im Ring der ganzen gaußschen Zahlen.
Die Zahl -1 ist ein quadratischer Rest modulo jeder Primzahl der Form 4k+14k+1 und nichtquadratischer Rest modulo jeder Primzahl der Form 4k+34k+3.

Bemerkung 1655 (Primzahlen der Form 6k ± 1)

Jede ganze Zahl lässt sich in der Form 6n−26n-2, 6n−16n-1, 6n6n, 6n+16n+1, 6n+26n+2 oder 6n+36n+3 darstellen (mit einer ganzen Zahl nn). Primzahlen (außer 2 und 3) haben aber nicht die Form 6n−26n-2, 6n6n,
6n+26n+2, 6n+36n+3, da alle solchen Zahlen durch 2 oder durch 3 (oder sogar durch 6) teilbar sind.
Daher hat jede Primzahl p>3p>3 die Form 6n−16n-1 oder 6n+16n+1.
Anders ausgedrückt: Es gilt
p≡1(mod6) p \equiv 1 \pmod 6 oder p≡−1(mod6) p \equiv -1 \pmod 6
 
 

Ich stimme mit der Mathematik nicht überein. Ich meine, daß die Summe von Nullen eine gefährliche Zahl ist.

Stanislaw Jerzy Lec

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