Fermatsche Zahlen

Eine Fermatsche Zahl ist eine Zahl der Form
Fn=2(2n)+1F_n = 2^{(2^n)} + 1
wobei n∈Nn\in \N eine natürliche Zahl ist.
Die ersten Fermat-Zahlen sind 33, 55, 1717, 257257, 6553765537, …\dots

Fermatsche Primzahlen

Eine Fermat-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist, wird Fermatsche Primzahl genannt. Die ersten fünf Fermat-Zahlen sind Primzahlen. Die Vermutung, dass alle Fermatschen Zahlen Primzahlen sind, wurde von Leonhard Euler 1732 widerlegt, indem er mit 641641 einen echten Teiler von F5=4294967297 F _{5} = 4294967297 fand.
Man vermutet inzwischen, dass es außer den ersten fünf keine weiteren Fermatschen Primzahlen gibt. Diese umgekehrte Vermutung beruht auf dem Primzahlsatz, wonach die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich xx näherungsweise x/ln⁡(x)x/\ln(x) beträgt. Die Primzahlendichte oder "Wahrscheinlichkeit" dafür, dass FnF_n eine Primzahl ist, beträgt daher näherungsweise 1ln⁡(2)⋅2n≈1,443⋅2−n\dfrac{1}{\ln(2) \cdot 2^n} \approx 1{,}443 \cdot 2^{-n}. Die Summe dieser Ausdrücke ist eine geometrische Reihe und für alle weder teilweise noch vollständig faktorisierten Fermat-Zahlen sehr gering.
Warum man nicht die Primzahleigenschaften von Zahlen der Form 2n+12^n+1 untersucht, erhellt der folgende Satz.
 
 

Satz

Wenn 2n+12^n+1 eine Primzahl ist, dann ist nn eine Zweierpotenz.

Beweis

Angenommen nn ist keine Zweierpotenz, dann muss nn entweder eine Zahl der Form n=abn=ab mit 1<a,b<n1 < a, b < n und ungeradem bb sein oder nn ist eine ungerade Primzahl. Im ersten Fall gilt 2n+1=(2a)b+12^n + 1 = (2^a)^b + 1 ≡(−1)b+1=0mod  (2a+1) \equiv (-1)^b + 1 = 0 \mod (2^a +1)\, Wenn also nn einen ungeraden Teiler außer 1 hat, dann ist 2n+12^n+1 zusammengesetzt, d. h. 2a+12^a + 1 ist dann ein echter Teiler von 2n+12^n + 1. Im Zweiten Fall ist 2n+1>32^n+1 > 3 durch 3 teilbar, da (2n+1)mod  3=(−1mod  3)n+1mod  3(2^n+1)\mod 3 = (-1 \mod 3)^n +1 \mod 3 =−1mod  3+1mod  3=0mod  3= -1 \mod 3 +1 \mod 3 = 0 \mod 3 ist. □\qed
Mit anderen Worten, für jede Primzahl der Form 2n+12^n+1 ist nn eine Zweierpotenz und die Primzahl 2n+12^n+1 ist eine Fermatsche Primzahl. Dies gilt auch für verallgemeinerte Fermatschen Zahlen.

Eigenschaften

  • Für einen Teiler pp einer Fermat-Zahl Fn, n≥F _{n},\, n \geq 5, gilt pp ≡ 1 (mod 2n+22^{n+2}); (z. B. Faktor 641 von F5F _{5}: 641 = 272^{7}*5 +1 = 128*5 +1)
  • Fermat-Zahlen lassen sich rekursiv berechnen aus
Fn=F0F1…Fn−1+2 F_{n} = F_{0} F_{1} \dots F_{n-1} + 2

Geometrische Anwendung der Fermatschen Primzahlen

Es gibt folgenden Zusammenhang zwischen der Konstruktion von regelmäßigen Vielecken und den Fermatschen Primzahlen: Ein regelmäßiges Vieleck mit nn Seiten kann dann und nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, wenn nn eine Potenz von 22 oder das Produkt einer Potenz von 22 und verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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