Verteilung der Primzahlen und Primzahlsatz

Der Primzahlsatz sagt, dass sich die Anzahl der Primzahlen für großes \(\displaystyle x\) annähernd wie \(\displaystyle \dfrac x {\ln x}\) verhält und erlaubt damit eine Abschätzung der Verteilung der Primzahlen.

Die Primzahlfunktion

Wir definieren \(\displaystyle \pi(x)\) als die Primzahlfunktion, die für beliebige reelle Zahlen \(\displaystyle x\) definiert ist und die Anzahl der Primzahlen \(\displaystyle p\leq x\) zurückgibt. Formal:
\(\displaystyle \pi (x) = \# \{p \in \mathbb{P} \mid p \le x\} \),
wobei \(\displaystyle \mathbb{P}\) für die Menge der Primzahlen steht und \(\displaystyle \#M\) für die Anzahl der Elemente der Menge \(\displaystyle M\).
 
 

Der Primzahlsatz

Der Primzahlsatz besagt:
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{\pi(x)}{\dfrac{x}{\ln(x)}} = 1\, \)
Die Funktionen \(\displaystyle \pi(x)\) und \(\displaystyle x/{\ln x}\) sind also asymptotisch äquivalent.

Stärkere Formen des Primzahlsatzes

PrimeNumberTheorem.png
Darstellung von \(\displaystyle \pi\)(x) (blau), \(\displaystyle x\) / ln(x) (grün) und Li(x) (rot)
Bessere Approximationen als \(\displaystyle x /{\ln x}\) liefert der so genannte Integrallogarithmus, der definiert wird als
\(\displaystyle \mathrm{Li}(x) := \int\limits_2^x \dfrac{\mathrm{d}t}{\ln t}\, \)
(Die Integraldarstellung für \(\displaystyle \mathrm{Li}(x)\) wird gewählt, weil die Stammfunktion von \(\displaystyle 1/\ln(x)\) nicht elementar ist.)
Der Integrallogarithmus ist asymptotisch äquivalent zu \(\displaystyle x/{\ln x}\), also auch zu \(\displaystyle \pi(x)\).
Man kann sogar zeigen:
\(\displaystyle \pi(x) = \mathrm{Li}\,x + \mathcal O \left(x \cdot \exp(-C\sqrt{\ln x} )\right)\)
mit einer positiven Konstanten \(\displaystyle C\). \(\displaystyle \mathcal{O}(\cdot)\) ist dabei ein Landau-Symbol, d.h., es gibt eine Konstante \(\displaystyle D\), so dass
\(\displaystyle |\pi(x)-\mathrm{Li}\,x | \ <\ D\cdot x \cdot \exp \left(-C\sqrt{\ln x} \right)\)
für alle \(\displaystyle x\) gilt.
Das bedeutet, dass die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als \(\displaystyle x\) sind, anhand der Funktion \(\displaystyle \dfrac{x}{\ln(x)}\) abgeschätzt werden kann. Genauer gesagt: Man weiß, dass die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als \(\displaystyle x\) sind, größer ist als der Wert \(\displaystyle \dfrac{x}{\ln(x)}\), wobei die verhältnismäßige Differenz mit zunehmendem \(\displaystyle x\) geringer wird. Zum Beispiel folgt daraus, dass es mehr als \(\displaystyle \dfrac{100000}{\ln(100000)} = 8685,89\), also mehr als 8685 Primzahlen unter den ersten 100000 Zahlen gibt.
Unter Annahme der Riemannschen Vermutung, und nur unter dieser, kann man die Fehlerabschätzung zu
\(\displaystyle \pi(x) = \mathrm{Li}\,x + \mathcal O \left(\sqrt{x} \cdot \ln x \right)\)
verbessern.

Siehe auch

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

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