Geschichtliches zum Primzahlsatz

Adrien-Marie Legendre veröffentlichte 1798 als erster in seiner Théorie des nombres (Abhandlung über Zahlentheorie) unabhängig von Gauß den vermuteten Zusammenhang zwischen Primzahlen und Logarithmen. In der zweiten Auflage dieses Werks 1808 verbesserte er die Abschätzung der Anzahl der Primzahlen $\pi(x)$ zu ungefähr gleich

Ein erster Schritt hin zu einem Beweis gelang Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, der 1851 die folgende schwächere Form des Primzahlsatzes zeigte:

für alle hinreichend großen $x$, das heißt dass die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe nicht um mehr als ungefähr 10 % nach oben oder unten von der logarithmischen Funktion $\dfrac{x}{\ln x}$ abweicht. Der englische Mathematiker James Joseph Sylvester, damals Professor an der amerikanischen Johns Hopkins University in Baltimore, verfeinerte 1892 Tschebyschows Methode und zeigte, dass für die Ungleichung bei hinreichend großem $x$ die untere Grenze 0,95695 und die obere Grenze 1,04423 genügt,die Abweichung also maximal nurmehr ungefähr 5 % beträgt.

1859 hat Bernhard Riemann den Zusammenhang zwischen der Verteilung der Primzahlen und den Eigenschaften der Riemannschen Zetafunktion aufgezeigt.Der deutsche Mathematiker Hans von Mangoldt bewies 1895 das Hauptresultat der Riemannschen Arbeit, nämlich dass der Primzahlsatz dem Satz äquivalent ist, dass die riemannsche Zetafunktion keine Nullstellen mit Realteil 1 hat.Sowohl Hadamard als auch de la Vallée Poussin haben 1896 die Nichtexistenz solcher Nullstellen bewiesen.Ihre Beweise des Primzahlsatzes sind also nicht "elementar", sondern verwenden funktionentheoretische Methoden. Lange Jahre galt ein elementarer Beweis des Primzahlsatzes für unmöglich, was 1949 durch die von Atle Selberg und Paul Erdős gefundenen Beweise widerlegt wurde (wobei "elementar" hier keineswegs "einfach" bedeutet). Später wurden noch zahlreiche Varianten und Vereinfachungen dieser Beweise gefunden.