Brunsche Konstante

Die Summe der Kehrwerte von Primzahlzwillingen konvergiert, ihr Grenzwert wird brunsche Konstante für Primzahlzwillinge genannt (benannt nach Viggo Brun) und meist als B2B_2 bezeichnet:
B2=(13+15)+(15+17)+(111+113)B_2 = \braceNT{\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5}}+ \braceNT{\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}}+ \braceNT{\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{13}}+(117+119)+(129+131)+⋯+ \braceNT{\dfrac{1}{17} + \dfrac{1}{19}}+ \braceNT{\dfrac{1}{29} + \dfrac{1}{31}} + \cdots
Dieser Fakt ist auf den ersten Blick überraschend, da die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen divergiert (Satz 1651). Wäre auch B2B_2 divergent, hätte man einen Beweis für die - bis heute offene - Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Aus der Konvergenz lässt sich jedoch nicht auf das Gegenteil schließen.
Es gilt
B2≈1,902160583104B_2\approx 1,902160583104
Die Berechnung von B2B_2 ist außerordentlich schwierig, da die Reihe zum einen sehr langsam konvergiert, als auch das Finden großer Primzahlen äußerst kompliziert ist.
 
 

Primzahlvierlinge

Neben B2B_2 gibt es noch die brunsche Konstante für Primzahlvierlinge, gewöhnlich als B4B_4 bezeichnet. Die ersten drei Quadrupel von Primzahlvierlingen sind
(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19) und (101, 103, 107, 109).
B4=(15+17+111+113)B_4 = \braceNT{\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{13}} +(111+113+117+119)+ \braceNT{\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{13} + \dfrac{1}{17} + \dfrac{1}{19}} +(1101+1103+1107+1109)+⋯+ \braceNT{\dfrac{1}{101} + \dfrac{1}{103} + \dfrac{1}{107} + \dfrac{1}{109}} + \cdots
Da alle Summanden von B4B_4 auch in B2B_2 vorkommen (damit 0<B4<B20 < B_4 < B_2 ist), konvergiert auch diese Summe. Sie hat den Wert
B4=0,87058 83800±0,00000 00005B_4 = 0{,}87058\, 83800 \pm 0{,}00000\, 00005

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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