Primzahldrillinge

Drei Primzahlen der Form $p$, $p+2$ und $p+4$ heißen Primzahldrilling. Beispielsweise ist $3$, $5$ und $7$ ein Primzahldrilling. Es ist auch der einzige Primzahldrilling, wie sich als Folgerung aus nachstehendem Lemma ergibt.

Unter drei natürlichen Zahlen der Form $n$, $n+2$ und $n+4$ findet sich stets eine durch $3$ teilbare Zahl.

Gilt $3|n$, sind wir fertig. Andernfalls lässt $n$ bei der Division durch $3$ den Rest $1$ oder $2$. Für den Rest $1$ ist jedoch $n+2$ durch $3$ teilbar und für den Rest $2$ aber $n+4$. $\qed$

Da nach Lemma CBKC die obige Definition der Primzahldrillinge nur zu einem relativ trivialen Tripel führt, kann man diese abwandeln und Primzahlen der Form $p$, $p+2,$ $p+6$ oder $p$, $p+4$,$p+6$ zulassen. Beide Formen enthalten einen Primzahlzwilling, der um eine weitere Primzahl im Abstand $4$ erweitert wird. Man spricht hier auch von Primzahltripletts.

Im folgenden die Primzahltripletts mit Primzahlen kleiner als 1000: (5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193, 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)