Gauß-Quadratur

Die Gauß-Quadratur (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein Verfahren zur numerischen Berechnung von Integralen der Form \(\displaystyle \int\limits_{a}^{b}\Phi(x)w(x)\,\mathrm dx\) mit optimaler Ordnung (s.unten).
Der Integrand setzt sich zusammen aus einer beliebigen stetigen Funktion \(\displaystyle \Phi(x)\) und einer Gewichtsfunktion \(\displaystyle w(x)\). Der Integrationsbereich \(\displaystyle [a,b]\) ist nicht auf endliche Intervalle beschränkt.
Zur numerischen Berechnung wird das Integral durch die Summe
\(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\Phi(x_{i})w_{i}\)
approximiert, wobei \(\displaystyle x_{i}\) als Knoten oder Abszissenwerte und die Größen \(\displaystyle w_{i}\) als Gewichte bezeichnet werden.
 
 

Eigenschaften

Die fundamentale Theorie der Gaußschen Quadratur besagt, dass die optimalen Abszissenwerte \(\displaystyle x_{i}\) einer Gauß-Quadraturformel vom Grad \(\displaystyle n\) genau den Nullstellen des \(\displaystyle n\)-ten orthogonalen Polynoms \(\displaystyle P_{n}\) vom Grad \(\displaystyle n\) entsprechen. Die Polynome \(\displaystyle P_{1},\, P_{2}\), ..., \(\displaystyle P_{n}\) müssen dabei orthogonal bezüglich des mit \(\displaystyle w(x)\) gewichteten Skalarprodukts sein,
\(\displaystyle \delta_{i,j}=\langle P_{i},P_{j}\rangle_w:=\int\limits_{a}^{b}P_{i}(x)P_{j}(x)w(x)\,\mathrm dx\)
Für die Gewichte gilt:
\(\displaystyle w_i = \int\limits_{a}^{b} w(x)\prod\limits_{j=1,j\not= i}^n\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}\mathrm dx \quad i=1,\ldots,n\)
Die Gauß-Quadratur stimmt für polynomiale Funktionen \(\displaystyle \Phi(x)\), deren Grad maximal \(\displaystyle 2n-1\) ist, mit dem Wert des Integrals exakt überein. Es lässt sich zeigen, dass keine Quadraturformel existiert, die alle Polynome vom Grad \(\displaystyle 2n\) exakt integriert. In dieser Hinsicht ist die Ordnung des Quadraturverfahrens optimal.

Anwendung

Die Gaußsche Quadratur findet Anwendung bei der numerischen Integration. Dabei werden für eine gegebene Gewichtsfunktion und einen gegebenen Grad \(\displaystyle n\), der die Genauigkeit der numerischen Integration bestimmt, einmalig die Stützpunkte \(\displaystyle x_i\) und Gewichtswerte \(\displaystyle w_i\) berechnet und tabelliert. Anschließend kann für beliebige \(\displaystyle \Phi(x)\) die numerische Integration durch einfaches Aufsummieren von gewichteten Funktionswerten erfolgen.
Dieses Verfahren ist damit potentiell vorteilhaft
  1. wenn viele Integrationen mit derselben Gewichtsfunktion durchgeführt werden müssen und
  2. wenn \(\displaystyle \Phi(x)\) hinreichend gut durch ein Polynom approximierbar ist.
Für einige spezielle Gewichtsfunktionen sind die Werte für die Stützstellen und Gewichte fertig tabelliert.

Gauß-Legendre Integration

Hier handelt es sich um die bekannteste Form der Gauß-Integration auf dem Intervall \(\displaystyle [-1,1]\), sie wird oft auch einfach als Gauß-Integration bezeichnet. Es gilt \(\displaystyle w(x)=1\). Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Legendre-Polynome erster Art. Die Erweiterung auf beliebige Intervalle \(\displaystyle [a,b]\) erfolgt durch eine Variablentransformation.
Stützpunkte und Gewichte der Gauß-Legendre Integration:
N=1 \(\displaystyle x_i\) \(\displaystyle w_i\)
1 0 2
N=2 \(\displaystyle x_i\) \(\displaystyle w_i\)
1 \(\displaystyle -\sqrt{1/3}\)≈ -0.57735026919 1
2 \(\displaystyle \sqrt{1/3}\) ≈ 0.57735026919 1
N=3 \(\displaystyle x_i\) \(\displaystyle w_i\)
1 \(\displaystyle -\sqrt{3/5}\) ≈ -0.774596669241 5/9 ≈ 0.555555555556
2 0 8/9 ≈ 0.888888888889
3 \(\displaystyle \sqrt{3/5}\) ≈ 0.774596669241 5/9 ≈ 0.555555555556
N=4 \(\displaystyle x_i\) \(\displaystyle w_i\)
1 -0.861136311594053 0.347854845137454
2 -0.339981043584856 0.652145154862546
3 0.339981043584856 0.652145154862546
4 0.861136311594053 0.347854845137454
N=5 \(\displaystyle x_i\) \(\displaystyle w_i\)
1 -0.906179845938664 0.236926885056189
2 -0.538469310105683 0.478628670499366
3 0 0.568888888888889
4 0.538469310105683 0.478628670499366
5 0.906179845938664 0.236926885056189

Gauß-Tschebyschew Integration

Eine Variante der Gauß-Integration auf dem Intervall \(\displaystyle [-1,1]\). Es gilt \(\displaystyle w(x)=1/\sqrt{1-x^2}\). Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Tschebyschew-Polynome. Die Stützpunkte liegen hier oftmals günstiger im Vergleich zur Gauß-Legendre Integration. Die Erweiterung auf beliebige Intervalle \(\displaystyle [a,b]\) erfolgt durch eine Variablentransformation. Liegt der Integrand in der Form \(\displaystyle \int\limits_{-1}^{1}\,f(x)\,\mathrm dx\) vor, so kann er umgeformt werden in \(\displaystyle \int\limits_{-1}^{1}w(x)\,\sqrt{1-x^2}\,f(x)\,\mathrm dx\). Zur numerischen Berechnung wird das Integral nun durch die Summe \(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}f(x_{i})\,\sqrt{1-x_{i}^2}\,w_{i}\) approximiert.

Gauß-Hermite Integration

Gauß-Integration auf dem Intervall \(\displaystyle (-\infty,\infty)\). Es gilt \(\displaystyle w(x)=e^{-x^2}\). Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Hermite-Polynome. Liegt der Integrand in der Form \(\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty}\,f(x)\,\mathrm dx\) vor, so kann er umgeformt werden in \(\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty}w(x)\,e^{x^2}\,f(x)\,\mathrm dx\). Zur numerischen Berechnung wird das Integral nun durch die Summe \(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}f(x_{i})\,e^{x_{i}^2}\,w_{i}\) approximiert.
Stützpunkte und Gewichte der Gauß-Hermite Integration:
N=2 \(\displaystyle x_i\) \(\displaystyle w_i\) \(\displaystyle w_i\,e^{x_i^2}\)
1 -0.707106781187 0.886226925453 1.46114118266
2 0.707106781187 0.886226925453 1.46114118266
N=3 \(\displaystyle x_i\) \(\displaystyle w_i\) \(\displaystyle w_i\,e^{x_i^2}\)
1 -1.22474487139 0.295408975151 1.32393117521
2 0 1.1816359006 1.1816359006
3 1.22474487139 0.295408975151 1.32393117521
N=4 \(\displaystyle x_i\) \(\displaystyle w_i\) \(\displaystyle w_i\,e^{x_i^2}\)
1 -1.65068012389 0.0813128354472 1.2402258177
2 -0.524647623275 0.804914090006 1.05996448289
3 0.524647623275 0.804914090006 1.05996448289
4 1.65068012389 0.0813128354472 1.2402258177

Gauß-Laguerre Integration

Gauß-Integration auf dem Intervall \(\displaystyle [0,\infty[\). Es gilt \(\displaystyle w(x)=e^{-x}\). Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Laguerre-Polynome. Liegt der Integrand in der Form \(\displaystyle \int\limits_{0}^{\infty}\,f(x)\,\mathrm dx\) vor, so kann er umgeformt werden in \(\displaystyle \int\limits_{0}^{\infty}w(x)\,e^{x}\,f(x)\,\mathrm dx\). Zur numerischen Berechnung wird das Integral nun durch die Summe \(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}f(x_{i})\,e^{x_i}\,w_{i}\) approximiert.
Stützpunkte und Gewichte der Gauß-Laguerre Integration:
N=2 \(\displaystyle x_i\) \(\displaystyle w_i\) \(\displaystyle w_i\,e^{x_i}\)
1 0.585786437627 0.853553390593 1.53332603312
2 3.41421356237 0.146446609407 4.45095733505
N=3 \(\displaystyle x_i\) \(\displaystyle w_i\) \(\displaystyle w_i\,e^{x_i}\)
1 0.415774556783 0.711093009929 1.07769285927
2 2.29428036028 0.278517733569 2.7621429619
3 6.28994508294 0.0103892565016 5.60109462543
N=4 \(\displaystyle x_i\) \(\displaystyle w_i\) \(\displaystyle w_i\,e^{x_i}\)
1 0.322547689619 0.603154104342 0.832739123838
2 1.74576110116 0.357418692438 2.04810243845
3 4.53662029692 0.038887908515 3.63114630582
4 9.3950709123 0.000539294705561 6.48714508441

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

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