Gauß-Quadratur

Die Gauß-Quadratur (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein Verfahren zur numerischen Berechnung von Integralen der Form ∫abΦ(x)w(x) dx\int\limits_{a}^{b}\Phi(x)w(x)\,\mathrm dx mit optimaler Ordnung (s.unten).
Der Integrand setzt sich zusammen aus einer beliebigen stetigen Funktion Φ(x)\Phi(x) und einer Gewichtsfunktion w(x)w(x). Der Integrationsbereich [a,b][a,b] ist nicht auf endliche Intervalle beschränkt.
Zur numerischen Berechnung wird das Integral durch die Summe
∑i=1nΦ(xi)wi\sum\limits_{i=1}^{n}\Phi(x_{i})w_{i}
approximiert, wobei xix_{i} als Knoten oder Abszissenwerte und die Größen wiw_{i} als Gewichte bezeichnet werden.

Eigenschaften

Die fundamentale Theorie der Gaußschen Quadratur besagt, dass die optimalen Abszissenwerte xix_{i} einer Gauß-Quadraturformel vom Grad nn genau den Nullstellen des nn-ten orthogonalen Polynoms PnP_{n} vom Grad nn entsprechen. Die Polynome P1, P2P_{1},\, P_{2}, ..., PnP_{n} müssen dabei orthogonal bezüglich des mit w(x)w(x) gewichteten Skalarprodukts sein,
δi,j=⟨Pi,Pj⟩w:=∫abPi(x)Pj(x)w(x) dx\delta_{i,j}=\langle P_{i},P_{j}\rangle_w:=\int\limits_{a}^{b}P_{i}(x)P_{j}(x)w(x)\,\mathrm dx
Für die Gewichte gilt:
wi=∫abw(x)∏j=1,j¬=inx−xjxi−xjdxi=1,…,nw_i = \int\limits_{a}^{b} w(x)\prod\limits_{j=1,j\not= i}^n\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}\mathrm dx \quad i=1,\ldots,n
Die Gauß-Quadratur stimmt für polynomiale Funktionen Φ(x)\Phi(x), deren Grad maximal 2n−12n-1 ist, mit dem Wert des Integrals exakt überein. Es lässt sich zeigen, dass keine Quadraturformel existiert, die alle Polynome vom Grad 2n2n exakt integriert. In dieser Hinsicht ist die Ordnung des Quadraturverfahrens optimal.

Anwendung

Die Gaußsche Quadratur findet Anwendung bei der numerischen Integration. Dabei werden für eine gegebene Gewichtsfunktion und einen gegebenen Grad nn, der die Genauigkeit der numerischen Integration bestimmt, einmalig die Stützpunkte xix_i und Gewichtswerte wiw_i berechnet und tabelliert. Anschließend kann für beliebige Φ(x)\Phi(x) die numerische Integration durch einfaches Aufsummieren von gewichteten Funktionswerten erfolgen.
Dieses Verfahren ist damit potentiell vorteilhaft
  1. wenn viele Integrationen mit derselben Gewichtsfunktion durchgeführt werden müssen und
  2. wenn Φ(x)\Phi(x) hinreichend gut durch ein Polynom approximierbar ist.
Für einige spezielle Gewichtsfunktionen sind die Werte für die Stützstellen und Gewichte fertig tabelliert.

Gauß-Legendre Integration

Hier handelt es sich um die bekannteste Form der Gauß-Integration auf dem Intervall [−1,1][-1,1], sie wird oft auch einfach als Gauß-Integration bezeichnet. Es gilt w(x)=1w(x)=1. Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Legendre-Polynome erster Art. Die Erweiterung auf beliebige Intervalle [a,b][a,b] erfolgt durch eine Variablentransformation.
Stützpunkte und Gewichte der Gauß-Legendre Integration:
N=1 xix_i wiw_i
1 0 2
N=2 xix_i wiw_i
1 −1/3-\sqrt{1/3}≈ -0.57735026919 1
2 1/3\sqrt{1/3} ≈ 0.57735026919 1
N=3 xix_i wiw_i
1 −3/5-\sqrt{3/5} ≈ -0.774596669241 5/9 ≈ 0.555555555556
2 0 8/9 ≈ 0.888888888889
3 3/5 \sqrt{3/5} ≈ 0.774596669241 5/9 ≈ 0.555555555556
N=4 xix_i wiw_i
1 -0.861136311594053 0.347854845137454
2 -0.339981043584856 0.652145154862546
3 0.339981043584856 0.652145154862546
4 0.861136311594053 0.347854845137454
N=5 xix_i wiw_i
1 -0.906179845938664 0.236926885056189
2 -0.538469310105683 0.478628670499366
3 0 0.568888888888889
4 0.538469310105683 0.478628670499366
5 0.906179845938664 0.236926885056189

Gauß-Tschebyschew Integration

Eine Variante der Gauß-Integration auf dem Intervall [−1,1][-1,1]. Es gilt w(x)=1/1−x2w(x)=1/\sqrt{1-x^2}. Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Tschebyschew-Polynome. Die Stützpunkte liegen hier oftmals günstiger im Vergleich zur Gauß-Legendre Integration. Die Erweiterung auf beliebige Intervalle [a,b][a,b] erfolgt durch eine Variablentransformation. Liegt der Integrand in der Form ∫−11 f(x) dx\int\limits_{-1}^{1}\,f(x)\,\mathrm dx vor, so kann er umgeformt werden in ∫−11w(x) 1−x2 f(x) dx\int\limits_{-1}^{1}w(x)\,\sqrt{1-x^2}\,f(x)\,\mathrm dx. Zur numerischen Berechnung wird das Integral nun durch die Summe ∑i=1nf(xi) 1−xi2 wi\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_{i})\,\sqrt{1-x_{i}^2}\,w_{i} approximiert.

Gauß-Hermite Integration

Gauß-Integration auf dem Intervall (−∞,∞)(-\infty,\infty). Es gilt w(x)=e−x2w(x)=e^{-x^2}. Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Hermite-Polynome. Liegt der Integrand in der Form ∫−∞∞ f(x) dx\int\limits_{-\infty}^{\infty}\,f(x)\,\mathrm dx vor, so kann er umgeformt werden in ∫−∞∞w(x) ex2 f(x) dx\int\limits_{-\infty}^{\infty}w(x)\,e^{x^2}\,f(x)\,\mathrm dx. Zur numerischen Berechnung wird das Integral nun durch die Summe ∑i=1nf(xi) exi2 wi\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_{i})\,e^{x_{i}^2}\,w_{i} approximiert.
Stützpunkte und Gewichte der Gauß-Hermite Integration:
N=2 xix_i wiw_i wi exi2w_i\,e^{x_i^2}
1 -0.707106781187 0.886226925453 1.46114118266
2 0.707106781187 0.886226925453 1.46114118266
N=3 xix_i wiw_i wi exi2w_i\,e^{x_i^2}
1 -1.22474487139 0.295408975151 1.32393117521
2 0 1.1816359006 1.1816359006
3 1.22474487139 0.295408975151 1.32393117521
N=4 xix_i wiw_i wi exi2w_i\,e^{x_i^2}
1 -1.65068012389 0.0813128354472 1.2402258177
2 -0.524647623275 0.804914090006 1.05996448289
3 0.524647623275 0.804914090006 1.05996448289
4 1.65068012389 0.0813128354472 1.2402258177

Gauß-Laguerre Integration

Gauß-Integration auf dem Intervall [0,∞[[0,\infty[. Es gilt w(x)=e−xw(x)=e^{-x}. Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Laguerre-Polynome. Liegt der Integrand in der Form ∫0∞ f(x) dx\int\limits_{0}^{\infty}\,f(x)\,\mathrm dx vor, so kann er umgeformt werden in ∫0∞w(x) ex f(x) dx\int\limits_{0}^{\infty}w(x)\,e^{x}\,f(x)\,\mathrm dx. Zur numerischen Berechnung wird das Integral nun durch die Summe ∑i=1nf(xi) exi wi\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_{i})\,e^{x_i}\,w_{i} approximiert.
Stützpunkte und Gewichte der Gauß-Laguerre Integration:
N=2 xix_i wiw_i wi exiw_i\,e^{x_i}
1 0.585786437627 0.853553390593 1.53332603312
2 3.41421356237 0.146446609407 4.45095733505
N=3 xix_i wiw_i wi exiw_i\,e^{x_i}
1 0.415774556783 0.711093009929 1.07769285927
2 2.29428036028 0.278517733569 2.7621429619
3 6.28994508294 0.0103892565016 5.60109462543
N=4 xix_i wiw_i wi exiw_i\,e^{x_i}
1 0.322547689619 0.603154104342 0.832739123838
2 1.74576110116 0.357418692438 2.04810243845
3 4.53662029692 0.038887908515 3.63114630582
4 9.3950709123 0.000539294705561 6.48714508441
 
 

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

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