Laguerre-Polynome

Laguerre-Polynome (nach Edmond Laguerre) sind die Lösungen der Laguerreschen Differentialgleichung
xy(x)+(1x)y(x)+ny(x)=0x \, y''(x) + (1-x)\,y'(x) + n y(x) = 0 n=0,1, n = 0,1,\ldots
Das nn-te Laguerre-Polynom lässt sich über die Rodrieguez-Formel
Ln(x):=exn!dndxn(xnex)L_n(x):=\dfrac{e^x}{n!} \dfrac{d^n}{dx^n}(x^n e^{-x})
darstellen. Es handelt sich dabei um eine Polynom vom Grade nn. Über die ersten Laguerre-Polynome
L0(x)=1L_0(x) = 1
L1(x)=x+1L_1(x) = -x+1
L2(x)=12(x24x+2)L_2(x) = \dfrac{1}{2}\,(x^2 - 4\,x + 2)
L3(x)=16(x3+9x218x+6)L_3(x) = \dfrac{1}{6}\,(-x^3 + 9\,x^2 -18\,x + 6)
lassen sich die Weiteren über folgende Rekursionsformeln berechnen:
(n+1)Ln+1(x)=(2n+1x)Ln(x)nLn1(n+1) \, L_{n+1}(x) = (2\,n+1-x)\,L_n(x) - n\,L_{n-1}
xLn(x)=nLn(x)nLn1(x)x\,L_n'(x) = n\,L_n(x) - n\,L_{n-1}(x)
 
 

Zugeordnete Laguerre-Polynome

Die zugeordneten-Laguerre Polynome hängen mit den gewöhnlichen Laguerre-Polynomen über
Lnk(x)=(1)kdkdxkLn+k(x)L_n^k(x) = (-1)^k \, \dfrac{d^k}{dx^k} \, L_{n+k}(x)
zusammen. Ihre Rodriguez-Formel lautet
Lnk(x)=exxkn!dkdxk(exxn+k)L_n^k(x) = \dfrac{e^x \, x^{-k}}{n!} \, \dfrac{d^k}{dx^k} \, (e^{-x}\,x^{n+k})\,
Die zugeordneten Laguerre-Polynome erfüllen die zugeordnete Laguerregleichung
zy(x)+(k+1x)y(x)+(pk)y(x)=0z\,y''(x) + (k+1-x)\,y'(x) + (p-k)\,y(x) = 0, n=0,1,knn = 0,1,\ldots \qquad k \le n\,
Die ersten zugeordneten Laguerre-Polynome lauten
L0k(x)=1L_0^k(x) = 1
L1k(x)=x+k+1L_1^k(x) = -x + k + 1
L2k(x)=12[x22(k+2)x+(k+1)(k+2)]L_2^k(x) = \dfrac{1}{2}\,\left[x^2 - 2\,(k+2)\,x + (k+1)(k+2)\right]
L3k(x)=16[x3+3(k+3)x23(k+2)(k+3)x+(k+1)(k+2)(k+3)]L_3^k(x) = \dfrac{1}{6}\,\left[-x^3 +3\,(k+3)\,x^2 - 3\,(k+2)\,(k+3)\,x + (k+1)\,(k+2)\,(k+3)\right]

Wasserstoffatom

Die Laguerre-Polynome haben eine Anwendung in der Quantenmechanik bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom, bzw. im allgemeinen Fall für ein Coulomb-Potential. Verwendet man die leicht abgewandelten Definitionen
Ln(x)=exdndxn(xnex)L_n(x) = e^x \, \dfrac{d^n}{dx^n} \, (x^n \, e^{-x})
Lnk(x)=dkdxkLn(x)L_n^k(x) = \dfrac{d^k}{dx^k}\,L_n(x)
so lässt sich der Radialanteil der Wellenfunktion als
Rnl(r)=Dnleκr(2κr)lLn+l2l+1(2κr)R_{nl}(r) = D_{nl} \, e^{-\kappa\,r} \, (2\,\kappa\,r)^l \, L_{n+l}^{2\,l+1}(2\,\kappa\,r)
schreiben (Normierungskonstante DnlD_{nl}, charakteristische Länge κ\kappa, Hauptquantenzahl nn, Bahndrehimpulsquantenzahl ll). Die zugeordneten Laguerre-Polynome haben hier also eine entscheidende Rolle.

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

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