Laguerre-Polynome

$x \, y''(x) + (1-x)\,y'(x) + n y(x) = 0$ $n = 0,1,\ldots$

$L_n(x):=\dfrac{e^x}{n!} \dfrac{d^n}{dx^n}(x^n e^{-x})$

$L_0(x) = 1$

$L_1(x) = -x+1$

$L_2(x) = \dfrac{1}{2}\,(x^2 - 4\,x + 2)$

$L_3(x) = \dfrac{1}{6}\,(-x^3 + 9\,x^2 -18\,x + 6)$

$(n+1) \, L_{n+1}(x) = (2\,n+1-x)\,L_n(x) - n\,L_{n-1}$

$x\,L_n'(x) = n\,L_n(x) - n\,L_{n-1}(x)$

Zugeordnete Laguerre-Polynome

$L_n^k(x) = (-1)^k \, \dfrac{d^k}{dx^k} \, L_{n+k}(x)$

$L_n^k(x) = \dfrac{e^x \, x^{-k}}{n!} \, \dfrac{d^k}{dx^k} \, (e^{-x}\,x^{n+k})\,$

$z\,y''(x) + (k+1-x)\,y'(x) + (p-k)\,y(x) = 0$, $n = 0,1,\ldots \qquad k \le n\,$

$L_0^k(x) = 1$

$L_1^k(x) = -x + k + 1$

$L_2^k(x) = \dfrac{1}{2}\,\left[x^2 - 2\,(k+2)\,x + (k+1)(k+2)\right]$

$L_3^k(x) = \dfrac{1}{6}\,\left[-x^3 +3\,(k+3)\,x^2 - 3\,(k+2)\,(k+3)\,x + (k+1)\,(k+2)\,(k+3)\right]$

Wasserstoffatom

$L_n(x) = e^x \, \dfrac{d^n}{dx^n} \, (x^n \, e^{-x})$

$L_n^k(x) = \dfrac{d^k}{dx^k}\,L_n(x)$

$R_{nl}(r) = D_{nl} \, e^{-\kappa\,r} \, (2\,\kappa\,r)^l \, L_{n+l}^{2\,l+1}(2\,\kappa\,r)$

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

Spezielle Funktionen

• Parameterintegrale
• Spezielle Polynome
  • Legendre-Polynome
  • Hermitesches Polynome
  • Laguerre-Polynome
• Elliptisches Integral