Hermitesches Polynome

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \dfrac{\mathrm d^n}{\mathrm{d}x^n} e^{-x^2}$

$H_n(x) = e^{x^2/2} \, \braceNT{x - \dfrac{\mathrm d}{\mathrm{dx}}}^n \, e^{-x^2/2}$

$H_0(x)=1$

$H_1(x)=2x$

$H_2(x)= (2x)^2 - 2 = 4x^2-2$

$H_3(x)= (2x)^3 - 6 (2x) = 8x^3-12x$

$H_4(x)= (2x)^4 - 12 (2x)^2 + 12 = 16x^4-48x^2+12$

Rekusrionsformeln

$\qquad H_{n+1}(x) = 2 \, x \, H_n(x) - 2 \, n \, H_{n-1}(x)$

$\qquad H_n'(x) = 2 \, n \, H_{n-1}(x)$

$H_n(-x) = (-1)^n \cdot H_n(x)$

$H_n''(x) - 2 \, x\cdot H_n'(x) + 2 \, n\cdot H_n(x)=0,\qquad (n=0,1,2\dots )\,$

Orthogonalität

$\int\limits\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \cdot H_n(x)\cdot H_m(x) \, dx= 2^n \cdot n! \cdot \sqrt{\pi} \cdot \delta_{nm}\,$

Andere Darstellung der Hermiteschen Polynome

$He_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2} \dfrac{\mathrm d^n}{\mathrm{d}x^n} e^{-x^2/2}\,$

$\int\limits\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \, He_n(x) \, He_m(x) \, dx = \sqrt{2 \, \pi} \, n! \, \delta_{mn}$

$y'' + x \, y' + n \, y=0\,$

$He_{n+1}(x) = x \, He_n(x) - n \, He_{n-1}(x)$

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Hermann Weyl

Spezielle Funktionen

• Parameterintegrale
• Spezielle Polynome
  • Legendre-Polynome
  • Hermitesches Polynome
  • Laguerre-Polynome
• Elliptisches Integral