Hermitesches Polynome

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Die Hermiteschen Polynome sind Polynome mit folgenden äquivalenten Darstellungen:
Hn(x)=(1)nex2dndxnex2H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \dfrac{\mathrm d^n}{\mathrm{d}x^n} e^{-x^2}
bzw.
Hn(x)=ex2/2(xddx)nex2/2H_n(x) = e^{x^2/2} \, \braceNT{x - \dfrac{\mathrm d}{\mathrm{dx}}}^n \, e^{-x^2/2}
Die ersten Polynome lauten explizit
H0(x)=1H_0(x)=1
H1(x)=2xH_1(x)=2x
H2(x)=(2x)22=4x22H_2(x)= (2x)^2 - 2 = 4x^2-2
H3(x)=(2x)36(2x)=8x312xH_3(x)= (2x)^3 - 6 (2x) = 8x^3-12x
H4(x)=(2x)412(2x)2+12=16x448x2+12H_4(x)= (2x)^4 - 12 (2x)^2 + 12 = 16x^4-48x^2+12

Rekusrionsformeln

Hermitesche Polynome lassen sich durch folgende Rekursionsformeln berechnen:
Hn+1(x)=2xHn(x)2nHn1(x)\qquad H_{n+1}(x) = 2 \, x \, H_n(x) - 2 \, n \, H_{n-1}(x)
Hn(x)=2nHn1(x)\qquad H_n'(x) = 2 \, n \, H_{n-1}(x)
Da bei jedem Itterationsschritt ein xx hinzumultipliziert wird, sieht man, dass Hn(x)H_n(x) ein Polynom von Grade nn ist. Der Koeffizient der höchsten Potenz xnx^n ist 2n2^n. Für gerade nn treten ausschließlich gerade Potenzen von xx auf, entsprechend für ungerade nn nur ungerade Potenzen, was sich mathematisch durch die Identität
Hn(x)=(1)nHn(x)H_n(-x) = (-1)^n \cdot H_n(x)
ausdrücken lässt.
Die Hermiteschen Polynome sind die partikulären Lösungen, d.h. jeweils zu einem festen nn, der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:
Hn(x)2xHn(x)+2nHn(x)=0,(n=0,1,2)H_n''(x) - 2 \, x\cdot H_n'(x) + 2 \, n\cdot H_n(x)=0,\qquad (n=0,1,2\dots )\,

Orthogonalität

Die Hermiteschen Polynome erfüllen bezüglich der Gewichtsfunktion ϱ=ex2\varrho = e^{-x^2} die Orthogonalitätsrelation
+ex2Hn(x)Hm(x)dx=2nn!πδnm\int\limits\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \cdot H_n(x)\cdot H_m(x) \, dx= 2^n \cdot n! \cdot \sqrt{\pi} \cdot \delta_{nm}\,
Das heißt, dass bestimmte reelle Funktionen nach den Hermiteschen Polynomen in eine Reihe entwickelt werden können.
Ihre Bedeutung erhalten sie durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik. Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators benötigt. Diese entsprechen den Hermiteschen Funktionen, die man durch Multiplikation mit der Gaußschen Normalverteilung und geeigneter Normierung erhält.

Andere Darstellung der Hermiteschen Polynome

Eine andere Definitionsmöglichkeit der Hermiteschen Polynome ist
Hen(x)=(1)nex2/2dndxnex2/2He_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2} \dfrac{\mathrm d^n}{\mathrm{d}x^n} e^{-x^2/2}\,
Sie sind bezüglich der Gewichtsfunktion ϱ(x)=ex2/2\varrho(x) = e^{-x^2/2} orthogonal
ex2/2Hen(x)Hem(x)dx=2πn!δmn\int\limits\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \, He_n(x) \, He_m(x) \, dx = \sqrt{2 \, \pi} \, n! \, \delta_{mn}
und erfüllen die Differentialgleichung
y+xy+ny=0y'' + x \, y' + n \, y=0\,
Sie lassen sich rekursiv durch
Hen+1(x)=xHen(x)nHen1(x)He_{n+1}(x) = x \, He_n(x) - n \, He_{n-1}(x)
bestimmen.
 
 

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Hermann Weyl

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