Legendre-Polynome

Die Legendre-Polynome sind die partikulären Lösungen der Legendre'schen Differentialgleichung. Sie sind spezielle reelle oder komplexe Polynome, die ein orthogonales Funktionensystem bilden. Benannt sind sie nach dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre. Eine wichtige Rolle spielen die Legendre-Polynome in der theoretischen Physik, insbesondere in der Elektrodynamik und in der Quantenmechanik.
 
 

Herkunft

Konstruktion Orthogonaler Polynome

Für eine gegebene Gewichtsfunktion ϱ(x)\varrho(x) und einem Intervall I=[a,b]I = [a,b] bedeutet die Konstruktion einer Reihe orthogonaler Polynome, die Bestimmung der Polynome Pn(x)P_n(x), welche die Orthogonalitätsbedingung erfüllen
∫abϱ(x) Pn(x) Pm(x) dx=δmn \int\limits\limits_a^b \varrho(x) \, P_n(x) \, P_m(x) \, dx = \delta_{mn}\,
Für die Gewichtsfunktion ϱ(x)=1\varrho(x) = 1 findet man auf dem Intervall I=[−1,1]I = [-1,1] im Prinzip die Legendre-Polynome. Man normiert diese jedoch nicht, sondern fordert Pn(1)=1P_n(1) = 1.

Legendresche Differentialgleichung

Die Legendre-Polynome Pn(x)P_n(x) sind Lösungen der Legendresche Differentialgleichung
(1−x2) f′′−2x f′+n(n+1) f=0,n∈N0,(1-x^2) \, f''-2x \, f'+n(n+1) \, f=0,\quad n\in\mathbb{N}_0,
welche auch in der Form
ddx[(1−x2) f′(x)]+l (l+1) f(x)=0\dfrac{d}{dx} \ntxbraceL{ (1-x^2) \, f'(x) } + l \, (l+1) \, f(x) = 0
geschrieben werden kann. Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung lautet jedoch
f(x)=A Pn(x)+B Qn(x) f(x)=A \, P_n(x)+B \, Q_n(x)\,
mit den beiden linear unabhängigen Funktionen Pn(x)P_n(x) und Qn(x)Q_n(x). Man bezeichnet die Legendre-Polynome Pn(x)P_n(x) daher auch als Legendre-Funktionen 1. Art und Qn(x)Q_n(x) als Legendre-Funktionen 2. Art, denn diese sind keine Polynome mehr.

Legendre-Polynome

Das nn-te Legendre-Polynom hat den Grad nn und ist aus Q[x]\Bbb Q[x], d.h. es hat rationale Koeffizienten. Für die Legendre-Polynome gibt es mehrere Darstellungsformen, bzw. man kann sie rekursiv bestimmen.

Rodiguez-Formel

Pn(x)=12n n!⋅(dndxn)[(x2−1)n]P_n(x) = \dfrac{1}{2^n \, n!}\cdot\over{\mathrm{d}^n }{ \mathrm{d}x^n } \ntxbraceL{ (x^2 -1)^n }

Alternative Darstellung

Pn(x)=(2n)!2n(n!)2[xn−n(n−1)2⋅(2n−1)xn−2+n(n−1)(n−2)(n−3)2⋅4⋅(2n−1)(2n−3)xn−4∓…]P_n(x) = \dfrac{(2n)!}{2^n(n!)^2} \ntxbraceL{ x^n - \dfrac{n(n-1)}{2\cdot (2n-1)}x^{n-2} + \dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4\cdot (2n-1)(2n-3)}x^{n-4} \mp \ldots }

Integraldarstellung

Für x∈C∖{+1;−1}x \in \mathbb{C} \setminus \{+1;-1\} gilt:
Pn(x)=1π∫0π[x+x2−1cos⁡φ]n dφP_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_0^\pi \ntxbraceL{x + \sqrt{x^2 - 1} \cos\varphi}^n \, \mathrm{d}\varphi

Rekursionsformeln

Für die Legendre-Polynome gelten folgende Rekursionsformeln:
(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)−nPn−1(x)     (n=1,2,…)(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x) \, \, \, \, \, \quad\quad (n=1,2,\ldots)
(x2−1(ddx)Pn(x)=nxPn(x)−nPn−1(x) (x^2-1\over{\mathrm{d} }{ \mathrm{d}x } P_n(x) = n xP_n(x)-nP_{n-1}(x)

Eigenschaften

Vollständiges Orthogonalsystem

Die Legendre-Polynome bilden auf dem Intervall I=[−1,1]I = [-1,1] ein vollständiges Orthogonalsystem:
∫−11Pn(x)Pm(x) dx = 22n+1δnm\int\limits\limits_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x) \, dx \, = \, \dfrac{2}{2n+1} \delta_{nm},
wobei δnm\delta_{nm} das Kronecker-Delta bezeichnet. Jede Funktion f:[−1,1]→Rf: [-1,1]\to\R lässt sich daher nach Legendre-Polynomen entwickeln:
f(x)=∑n=0∞cn Pn(x)f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty c_n \, P_n(x)
mit den Entwicklungskoeffizienten
cn=2 l+12 ∫−11f(x) Pn(x) dx c_n = \dfrac{2 \, l+1}{2} \, \int\limits\limits_{-1}^1 f(x) \, P_n(x) \, dx\,
Es gilt die sog. Vollständigkeitsrelation
∑n=0∞2 n+1n Pn(x′) Pn(x)=δ(x′−x)\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{2 \, n+1}{n} \, P_n(x') \, P_n(x) = \delta(x'-x)
mit der Diracschen Delta-Distribution, welche dies garantiert.
Unter Verwendung des Skalarproduktes
⟨f,g⟩=∫−11f(x) g(x) dx\langle f,g\rangle = \int\limits\limits_{-1}^1 f(x) \, g(x) \, dx
kann man diese Eigenschaften auch kurz schreiben als
  • Orthogonalität: ⟨Pn(x),Pm(x)⟩=0\langle P_n(x), P_m(x)\rangle = 0 für m≠nm \neq n
  • Vollständigkeit: ⟨Pn(x),Pn(x′)⟩=δ(x′−x)\langle P_n(x), P_n(x')\rangle = \delta(x' - x)
  • Fourier-Entwicklung f(x)=∑n=0∞⟨f(x),Pn(x)⟩ Pn(x)f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \langle f(x),P_n(x)\rangle \, P_n(x)

Eigenschaften als orthogonales Polynom

Pn(x)P_n(x) hat auf dem Intervall I=[−1,1]I = [-1,1] genau nn einfache Nullstellen. Zwischen zwei Nullstellen von Pn(x)P_n(x) liegt genau eine Nullstelle von Pn−1(x)P_{n-1}(x).

Allgemeine Eigenschaften

Pn(1)=1P_n(1) = 1
Pn(−x)=(−1)n Pn(x)P_n(-x) = (-1)^n \, P_n(x)
P2 n+1(0)=0P_{2 \, n+1}(0) = 0

Erzeugende Funktion

Für x∈C, z∈C, ∣z∣<1x \in \mathbb{C},\, z \in \mathbb{C},\, |z| < 1 gilt:
(1−2xz+z2)−1/2=∑n=0∞Pn(x)zn(1 - 2xz + z^2)^{-1/2} = \sum\limits_{n=0}^\infty P_n(x) z^n
Dabei hat die Potenzreihe auf der rechten Seite für −1≤x≤+1-1 \le x \le +1 den Konvergenzradius 1.
Die Funktion z↦(1−2xz+z2)−1/2z \mapsto (1 - 2xz + z^2)^{-1/2} wird daher als erzeugende Funktion der Legendre-Polynome PnP_n bezeichnet.

Die ersten Legendre-Polynome

Die ersten Legendre-Polynome auf [−1,1][-1,1] lauten:
P0(x)=1 P_0(x) = 1 \,
P1(x)=x P_1(x) = x \,
P2(x)=12(3x2−1)P_2(x) = \dfrac{1}{2} (3x^2 - 1)
P3(x)=12(5x3−3x)P_3(x) = \dfrac{1}{2} (5x^3 - 3x)
P4(x)=18(35x4−30x2+3)P_4(x) = \dfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)
P5(x)=18(63x5−70x3+15x)P_5(x) = \dfrac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)

Legendre Funktionen 2. Art

Die Rekurssionsformeln der Legendre-Polynome gelten auch für die Legendre Funktionen 2. Art, sodass sie sich iterativ mit der Angabe der ersten bestimmen lassen:
Q0(x)=12 ln⁡(1+x1−x)Q_0(x) = \dfrac{1}{2} \, \ln\braceNT{ \dfrac{1+x}{1-x} }
Q1(x)=x2 ln⁡(1+x1−x)Q_1(x) = \dfrac{x}{2} \, \ln\braceNT{ \dfrac{1+x}{1-x} }
Q2(x)=3 x2−14 ln⁡(1+x1−x)−3 x2Q_2(x) = \dfrac{3 \, x^2 - 1}{4} \, \ln\braceNT{ \dfrac{1+x}{1-x} } - \dfrac{3 \, x}{2}
Q3(x)=5 x3−3 x4 ln⁡(1+x1−x)−5 x22+23Q_3(x) = \dfrac{5 \, x^3 - 3 \, x}{4} \, \ln\braceNT{ \dfrac{1+x}{1-x} } - \dfrac{5 \, x^2}{2} + \dfrac{2}{3}

Siehe auch

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

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