Lie-Integration

Grundlagen

Lie-Operator

$D=\theta_1\dfrac{\partial}{\partial z_1} + \theta_2\dfrac{\partial}{\partial z_2} + \ldots + \theta_n\dfrac{\partial}{\partial z_n}$

Lie-Reihen

$D(f)=\theta_1\dfrac{\partial f}{\partial z_1} + \theta_2\dfrac{\partial f}{\partial z_2} + \ldots + \theta_n\dfrac{\partial f}{\partial z_n}$

$D^2\left(f\right)=D\left(D\left(f\right)\right)$

$D^n\left(f\right)=D\left(D^{n-1}\left(f\right)\right)$

$L(z,t)=\sum\limits_{\nu=0}^\infty \dfrac{t^\nu}{\nu!} D^\nu f(z) = f(z)+tDf(z)+\dfrac{t^2}{2!}D^2f(z) + \ldots$

$e^x=\left(1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\ldots\right)$

$L\left(z,t\right)=e^{tD}f\left(z\right)$

Eigenschaften

Die Methode

$\dfrac{dz_i}{dt}=\theta_i(z)$

$z_i=e^{tD} \xi_i\,$

$\dfrac{dz_i}{dt}=De^{tD}\xi_i$

$De^{tD}\xi_i=e^{tD}D\xi_i\,$

$D\xi_i=\theta_i\left(\xi_i\right)$

$\dfrac{dz_i}{dt}=e^{tD}\theta_i\left(\xi_i\right)=\theta_i\left(e^{tD}\xi_i\right)=\theta_i\left(z_i\right)$

Ein Beispiel

$\dfrac{d^2 x}{dt^2}+\alpha^2x=0$

$\dfrac{dx}{dt}=y=\theta_1(x,y)$

$\dfrac{dy}{dt}=-\alpha^2 x=\theta_2(x,y)$

$D=\theta_1\dfrac{\partial}{\partial \xi}+ \theta_2\dfrac{\partial}{\partial \eta}=\eta\dfrac{\partial}{\partial \xi} - \alpha^2 \xi \dfrac{\partial}{\partial \eta}$

$x=e^{\tau D}\xi$, $y=e^{\tau D}\eta\,$

$x=e^{\tau D}\xi=\left(1+\tau D + \dfrac{t}{2!}D^2+\dfrac{t^3}{3!}D^3+\ldots\right) \xi$

$x=\xi+\tau\eta - \dfrac{\tau^2}{2!}\alpha^2\xi-\dfrac{\tau^3}{3!}\alpha^2\eta + \dfrac{\tau^4}{4!}\alpha^4\xi \ldots$

$x=\xi \left( 1 - \dfrac{\tau^2}{2!}\alpha^2+\dfrac{\tau^4}{4!}\alpha^4-\dfrac{\tau^6}{6!}\alpha^6+\ldots\right)$$+\dfrac{\eta}{\alpha}\left(\tau\alpha - \dfrac{\tau^3}{3!}\alpha^3 + \dfrac{\tau^5}{5!}\alpha^5 - \dfrac{\tau^7}{7!}\alpha^7 +\ldots\right)$

$x(t)=\xi \cos \alpha \tau + \dfrac{\eta}{\alpha} \sin \alpha \tau$

Bemerkungen zur Lie-Integration

• Da die Lösungen bei der Lie-Integration als Potenzreihe in der unabhängigen Variable (hier $\tau$) gegeben ist, ist es sehr einfach, einen Integrations-Algorithmus mit Schrittweitensteuerung anzugeben.
• Das Verfahren ist bei der numerischen Lösung von Differentialgleichung sehr exakt. Durch Auswahl des Zeitschritts und der Anzahl der Terme der Lie-Reihe, die für die Lösung berechnet werden, lässt sich die Genauigkeit steuern: je mehr Lie-Terme berechnet werden, desto größer kann der Zeitschritt sein (und umgekehrt).
• Für viele Differentialgleichungen kann die Berechnung der Terme der Lie-Reihe rekursiv erfolgen. Damit wird das Integrationsverfahren sehr schnell.
• Zur Lösung einer Differentialgleichung mittels Lie-Integration ist nur eine Kenntnis über die Ableitungen der Gleichungen notwendig. Diese können aber immer, bis zu einer beliebig hohen Ordnung, bestimmt werden. Außerdem ist die Differentation von Gleichungen (im Gegensatz zur Integration!) mittels komplett automatisierbar.

Literatur

• Wolfgang Gröbner, Die Lie-Reihen und ihre Anwendungen., VEB, 1960, ISBN B0000BISQ2
• Rudolf Dvorak, Florian Freistetter, J. Kurths, Chaos and Stability in Planetary Systems., Springer, 2005, ISBN 3540282084
• N. Asghari et. al, Stability of terrestrial planets in the habitable zone of Gl 777 A, HD 72659, Gl 614, 47 Uma and HD 4208. In: Astronomy & Astrophysics 426/2004, S. 353-365

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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